Реферати українською » Математика » Графічне рішення рівнянь


Реферат Графічне рішення рівнянь


Графічне рішення рівнянь

Розквіт, 2009


Запровадження

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще давнини спричинило потребою виконувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, ні з розвитком астрономії і найбільш математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років е. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене вВавилонских текстах, збігається сутнісно з сучасними, проте невідомо, як дійшли вавілоняни доти правила.

Формули рішення квадратних рівнянь у Європі були вперше викладені у «Книзі абака», написаної 1202 року італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань у Італії, а й Німеччини, Німеччині й інших країнах Європи.

Але загальне правило рішення квадратних рівнянь, при різноманітних комбінаціях коефіцієнтів b і з було сформульовано у Європі лише 1544 року М.Штифелем.

У 1591 року ФрансуаВиет ввів формули на вирішення квадратних рівнянь.

У древньому Вавилоні могли вирішити деяких видів квадратних рівнянь.

>Диофант Олександрійський і >Евклид, >Аль-Хорезми і Омар Хайям вирішували рівняння геометричними і графічними способами.

О 7-й класі вивчали функції у = З, у = >kx, у = >kx+>m, у = x2, у = – x2, у вісім класі – у = x, у =|x|, у = >ax2+>bx+з, у = >k /x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила не відомі мені функції: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3x, (xa)2 + (у – b)2 = >r2 та інші. Існують правила побудови графіків даних функцій. Мені цікаво, чи є ще функції, підлягають цих правил.

Моя робота залежить від дослідженні графіків функцій і графічному рішенні рівнянь.

 

 


1. Які бувають функції

Графік функції – це безліч всіх точок координатної площині,абсцисси яких рівні значенням аргументів, а ординати – відповідним значенням функції.

>Линейная функція ставиться рівнянням у = >kx + b, де >k і b – деякі числа.Графиком цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у = >k/x, деk 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (xa)2 + (у – b)2 = >r2, де а, b і >r – деякі числа.Графиком цієї функції є окружність радіусаr з центром в т. А (а, b).

>Квадратичная функція y = >ax2 + >bx + з де а, b, з – деякі числа і а 0.Графиком цієї функції є парабола.

>Уравнение у 2(ax) = x2(a+ x).Графиком цього рівняння буде крива, званастрофоидой.

>Уравнение (x2 + y2)2 = a (x2y2). Графік цього рівняння називаєтьсялемнискатой Бернуллі.

>Уравнение . Графік цього рівняння називаєтьсяастроидой.

Крива (x2 y2 – 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2). Ця крива називаєтьсякардиоидой.

Функції: у = x3 – кубічна парабола, у = x4, у = 1/x2.

2. Поняття рівняння, його графічного рішення

 

>Уравнение – вираз, що містить зміну.

Вирішити рівняння – це що означає знайти коріння, чи довести, що й немає.

Корінь рівняння – їх кількість, при підстановці що його рівняння виходить правильне числове рівність.

Рішення рівнянь графічним способом дозволяє знайти точне чи близьке значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків й розв'язанні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називаютьфункционально-графическим.

Аби вирішити рівняння «ділимо» на частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків.Абсцисси цих крапок і є коріння рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у = >f(x), можна побудувати графіки функцій у = >f (x+>m), у = >f(x)+l і у = >f (x+ >m)+ l. Всі ці графіки виходять з графіка функції у = >f(x) з допомогою перетворення паралельного перенесення: на >mодиниць масштабу вправо чи вліво вздовж осі x і lодиниць масштабу вгору чи вниз вздовж осі y.

4. Графічне рішення квадратного рівняння

Прикладквадратичной функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння.Графикомквадратичной функції є парабола.

Що знали про параболу древні греки?

Сучасна математична символіка виникла 16 столітті.

У давньогрецьких ж математиків ні координатного методу, ні поняття функції був. Проте, властивості параболи прокуратура вивчила ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає, – якщо вони використовувати лише креслення і словесні описи залежностей.

Найповніше досліджував параболу, гіперболу і еліпс >АполонийПергский, котрий у 3 столітті е. Він також дав цим кривим назви і зазначив, яким умовам задовольняють точки, що лежать того чи іншого кривою (аджеформул-то був!).

Існує алгоритм побудови параболи:

• Знаходимо координати вершини параболи А (x0; у0): x0 =-b/2a;

• y0=охпро2+>вх0+з;

• Знаходимо вісь симетрії параболи (прямах=х0);

•Составляем таблицю значень для побудови контрольних точок;

• Будуємо отримані крапки й побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. По алгоритму побудуємо параболу y = x2 – 2x – 3.Абсцисси точок перетину з віссю x це і є коріння квадратного рівняння x2 – 2x – 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного вирішення цього рівняння.

2.Разобьем рівняння на дві функції: y=x2 і y= 2x + 3. Коріння рівняння –абсцисси точок перетину параболи з прямою.

3.Разобьем рівняння на дві функції: y=x2 –3 і y =2x. Коріння рівняння –абсцисси точок перетину параболи з прямою.

4.Преобразуем рівняння x2 – 2x – 3 = 0 з допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x –1)2 і y=4. Коріння рівняння –абсцисси точок перетину параболи з прямою.

5.Разделимпочленно обидві частини рівняння x2 – 2x – 3 = 0 на x, одержимо x – 2 – 3/x = 0,разобьем дане рівняння на дві функції: y = x – 2, y = 3/x. Коріння рівняння –абсцисси точок перетину прямий і гіперболи.

5. Графічне рішення рівнянь ступеня n

 

Приклад 1. Вирішити рівняння x5 = 3 – 2x.

>Корнями даного рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = x5, y = 3 – 2x.

Відповідь: x = 1.

Приклад 2. Вирішити рівняння 3x = 10 – x.

>Корнями даного рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = 3x, y = 10 – x.

Відповідь: x = 8.


Укладання

Розглянувши графіки функцій: у = >ax2+>bx+з, у = >k /x, у = x, у =|x|, у = x3, у = x4, у = 3x, я помітила, всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей x і y.

Приклад рішення квадратного рівняння можна робити висновків, що графічний спосіб прийнятний і для рівнянь ступеня n.

Графічні шляхи вирішення рівнянь будуть вродливі й зрозумілі, але з дають стовідсоткової гарантії рішення будь-якого рівняння.Абсцисси точок перетину графіків може бутиприближенними.

О дев'ятій класі й у старших класах ще ознайомитися з іншими функціями. Мені особисто цікаво знати: підпорядковуються чи ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

Наступного року мені хочеться також розглянути питання графічного рішення систем рівнянь і нерівностей.


Література

1.Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/ О.Г.Мордкович. М.:Мнемозина, 2007.

2.Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/ О.Г.Мордкович. М.:Мнемозина, 2007.

3.Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/ О.Г.Мордкович. М.:Мнемозина, 2007.

4.Глейзер Г.І. Історія математики школі.VII–VIII класи. – М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне рішення рівнянь сайти з Інтернету:ТолВИКИ;stimul.biz/ru;wiki.iot/images;berdsk.edu;pege3–6.htm.


Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Графи
    Зміст Запровадження 1. >Графи, >орграфи, дерева 2. Операції над графами 3. Збереження графів в ЕОМ
  • Реферат на тему: Графи і частково впорядковані множини
    >Графи і лише частково впорядковані безлічі Обидві ці структури є приватними випадками бінарних
  • Реферат на тему: Графи. Основні поняття
    Міністерство освіти і науки Російської Федерації Курський державний технічний університет Кафедра
  • Реферат на тему: Грецькі і римські заходи
    У період античності немає єдиної системи заходів. У різні періоди у державах Стародавнього Сходу,
  • Реферат на тему: Групування статистичних даних
    Угруповання статистичних даних 1.         Поняття

Навігація