Реферати українською » Математика » Власні значення І власні вектори матріці


Реферат Власні значення І власні вектори матріці

Страница 1 из 2 | Следующая страница

>Міністерствоосвіти й науки України

>Криворізькийдержавнийпедагогічнийуніверситет

Кафедра математики

>Курсова робота із математики

>Власнізначення йвласнівекториматриці

СтудентаІV курсуфізико-математичного факультету

>ПаліяВалеріяМиколайовича

>Науковийкерівник

ст.викладачКорольська Л. Р.

>КривийРіг

2009 р.


>ЗМІСТ

>Вступ

>Розділ І.Основнівідомості ізлінійноїалгебри

1.1Видиматриць.Дії надматрицями.Визначник

1.2Власнізначення тавласнівекториматриці

>Розділ ІІ.Знаходженнявласнихвекторів йвласнихзначеньматриць

2.1 Метод А. М.Данілевського

2.2 Метод А. М.Крилова

2.3 МетодЛеверрьє

2.4 Методневизначенихкоефіцієнтів

2.5 Методскалярнихдобутків длязнаходження Першоговласногозначеннядійсноїматриці

2.6приклади завдань, щозводяться довідшуканнявласнихзначень тавласнихвекторівматриці

>Висновки

Списоквикористанихджерел


>Вступ

>Історичнопершимрозділомлінійноїалгебри буврозділтеоріїлінійнихрівнянь.Згодом узв’язку ізрозв’язаннямсистемилінійнихрівнянь було б введенопоняття ">визначник" в 1750роціКрамером. Узв’язку ізвивченнямлінійнихрівнянь тавизначників вводитисяпоняттяматриці в 1877році Р.Фробеніусом. Укінці 19століттяз’явивсяновийрозділлінійноїалгебри ">Власнізначення тавласнівекториматриць".Цейрозділмаєприкладнезначення.

якз’ясувалося,деякіспеціалістидониніцікавляться такоюпроблемоюлінійноїалгебри, якобчисленнявласнихзначень тавласнихвекторівматриць.Ця проблемавиникає в західних областях математики,механіки,інженерної справ тагеології.

>Актуальністьнашогодослідженняполягаєвтому, щоцілий ряд|інженерних завданьзводиться дорозгляду системрівнянь, щомають Єдинийрозв’язоклише до тоговипадку, коли|відомезначеннядеякоговхідного у яких параметра.Цейособливий параметрназиваєтьсяхарактеристичним, чивласним,значеннямсистеми. З завданнями навласнізначенняінженерстикається врізнихситуаціях. Так, длятензорівнапругивласнізначеннявизначаєголовна нормальнанапруга, авласними векторамизадаютьсянапрями,пов'язані ізцимизначеннями. Придинамічномуаналізімеханічних системвласнізначеннявідповідаютьвласним частотахколивань, авласнівекторихарактеризуютьмодицихколивань. Прирозрахункуконструкційвласнізначеннядозволяютьвизначатикритичнінавантаження,перевищення які приводити довтратистійкості.Вибірнайбільшефективного методуобчисленнявласнихзначень чивласнихвекторів дляданоїінженерноїзадачізалежить від рядучинників, таких, як типрівнянь, числошуканихвласнихзначень й їхні характер.

>Об’єктомнашогодослідженняєелементилінійноїалгебри.

Предметдослідження:методизнаходженнявласнихзначень йвласнихвекторівматриць.

>Задачідослідження:

1)Аналізнавчальної таметодичноїлітератури із тимидослідження.

2)Обгрунтуватиметодизнаходженнявласнихвекторів йвласнихзначеньматриць.

3)Навестиприкладизнаходженнявласнихвекторів йвласнихзначеньматриць.


>Розділ І.Основнівідомості ізлінійноїалгебри

1.1Видиматриць.Дії надматрицями.Визначник

>Матрицеюназиваєтьсяпрямокутнатаблиця із чисел, котраскладається іздеякоїкількостіmрядків тадеякоїкількості nстовпців.

>Числаm й nназиваються порядкамиматриці. Увипадку,якщоm = n,матрицяназиваєтьсяквадратною, а числоm = n —її порядком. [2,стор. 10]

>Щобзаписатиматрицю,виписуютьналежним чиномпозначенняїїелементів таотриманутаблицюберуть в дужки чиобмежуютьподвійнимилініями.

Таким чином,загальнийвиглядматрицірозмірності (>m, n) якщо таким

, , ,

де a>ij —позначенняелементів ізмножини З. Частозамість такогодокладногозаписувживаютьскорочений: || a>ij || чи || a>ij ||>m,n.

>Якщокількістьрядківматрицідорівнюєкількостіїїстовпців, томатрицяназиваєтьсяквадратною, акількістьїїрядків, щодорівнюєкількостістовпців,називається порядкомквадратноїматриці.

>Матрицю, щомає лише один ряд,називають просто рядкомматриці, акількість йогоелементів —довжиною рядка. Уподальшомуматриці будутьпозначатися великимилітерамилатинськогоалфавіту.

>Двіматриціназиваютьсярівними,якщокількістьрядків йстовпців вонивідповіднорівні таякщорівні числа, що стояти навідповіднихмісцяхцихматриць. Таким чином, однарівністьміж (>m,n)-матрицямирівносильнасистеміmnрівностейміж їхньогоелементами.

>Основнимиматричнимиопераціямиємноження числа наматрицю чиматриці на число,додавання таперемноження двохматриць. Заозначенням, у томущобпомножити число наматрицю А чиматрицю На число,необхіднопомножити на усіелементиматриці А.Наприклад,

>Матриця усіелементиякоїдорівнюють нулю,називаєтьсянульовоюматрицею йпозначається Про.Якщобажаютьвказати явнокількістьрядків йстовпцівнульовоїматриці, топишуть Про>mn.

>Блочніматриці.Припустимо, щодеякаматриця задопомогоюгоризонтальних йвертикальнихпрямихрозбита наокреміпрямокутніклітини,кожна із якіявляє собоюматрицюменшихрозмірів йназивається блокомвихідноїматриці. У такомуразівиникаєможливістьрозглядувихідноїматриці А якдеякоїнової (такзваноїблочної)матриці ,елементамислугуютьвказані блоки.

>Наприклад,матрицю

можнарозглядати якблочнуматрицю ,елементамиякоїслугуютьнаступні блоки:


>Цікавимє тієї факт, щоосновніоперації ізблочнимиматрицямиздійснюються затими ж правилами, пояким смердотіздійснюютьсязізвичайнимичисловимиматрицями, лише вроліелементіввиступають блоки. [2,стор. 15]

Длядовільноїматриці А тадовільних,маютьмісцетакіспівввідношення:

1.        

2.        

3.        

>Сумою двохматриць А й У, щомаютьвідповіднорівнукількістьрядків йстовпців,називаєтьсяматриця, щомає ту жкількістьрядків йстовпців йелементи, котрідорівнюютьсумамвідповіднихелементівматриць А, У.Наприклад,

З цоговизначеннявитікаютьспіввідношення:

4.        

5.        

6.        

7.        

8.        

>Вводячипозначення , будемотакож матір

[4]

>Добуткомматриці , щомаєвідповіднорозмірністьm x n, наматрицю , щомаєвідповіднорозмірність n xp,називаєтьсяматриця , щомаєвідповіднорозмірністьm xp,таелементи , котрівизначаються заформулою

  (1)

Дляпозначеннядобуткуматриці Наматрицю Увикористовуютьзапис .Операціяскладаннядобуткуматриці Наматрицю Уназиваєтьсяперемноженнямцихматриць.

>Зісформульованоговищеслідує, щоматрицю А можнапомножити не так набудь-якуматрицю У:необхідно,щобкількістьстовпцівматриці Адорівнювалокількостірядківматриці У.

В частности, двадобутки можнавизначитилише до тоговипадку, коликількістьстовпців Аспівпадає із числомрядків У, акількістьрядків Аспівпадає ізкількістюстовпців У. При цьомуобидвіматриці будутьквадратними, але й порядки їхнього будутьрізними. Ащобобидвадобутки не лише буливизначеними, але й і маліоднаковий порядок,необхідно йдостатньо,щобобидвіматриці А й У буликвадратнимиматрицями одного і того ж порядку.

Формула (1)являє собою правилоскладанняелементівматриці З, щоявляє собоюдобутокматриці Наматрицю У. Це правило можнасформулювати й словесно:елемент , щостоїть наперетиніі-го рядка таj-гостовпцяматриці ,дорівнюєсуміпопарнихдобутківвідповіднихелементіві-го рядкаматриці А таj-гостовпцяматриці У.

Уякості прикладазастосуваннявказаного правилаприведемо формулуперемноженняквадратнихматриць іншого порядку

Зформули (1)витікаютьнаступнівластивостідобуткуматриці Наматрицю У:

1.        

2. чи

>Середквадратнихматрицьвиділимоклас такзванихдіагональнихматриць, укожної із якіелементи, щорозташовані не так наголовнійдіагоналі,дорівнюють нулю. Кожнадіагональнаматрицямає вид

,


де — котрізавгодно числа. Легкобачити, щоякщо усіці числарівніміж собою,тобто то тут длябудь-якоїквадратноїматриці А порядку n справедливарівність .

>Серед всіхдіагональнихматриць, у якідіагональніелементиспівпадаютьособливу рольвідіграютьдвіматриці.Перша із нихотримується приd = 1,називаєтьсяодиничноюматрицеюn-го порядку йпозначається Є. Другаматрицяотримується приd = 0,називаєтьсянульовоюматрицеюn-го порядку йпозначається Про.

Таким чином,

[2,стор. 14]

З правилдій надматрицямибезпосередньовитікає, що сума йдобутокдіагональнихматриць якщозновудіагональноюматрицею:


>Розглянемотепердовільнуквадратнуматрицю Х порядку п ізелементами ізкільця До. Заозначеннямвважаємо

Ос-кільки примноженідекількохматриць дужки можнарозташовуватидовільно, то тут длябудь-якихцілихневід’ємнихp,q тадовільноїматриці Х надасоціативнимкільцем До маємо

,   (2)

        .

>Матриці А й Уназиваютьсяпереставними (>комутативними),якщо

>Зіспіввідношення (2)отримаємо

,

й, означати, усінатуральністепеніоднієї йтієї жматриціпереставніміж собою.

>Справедливе і болеезагальнетвердження:якщоматриці А й Упереставні, тобудь-які їхньогонатуральністепенітакожпереставні і длябудь-якого натуральногоp маємо

>Транспонуванняматриць.

>Розглянемодовільнуматрицю

>Матриця

щоотрималася із Азаміноюрядківстовпцями,називаєтьсятранспонованою повідношенню до А.

         Длядовільнихматриць А, Умаютьмісценаступні правилатранспонування:

,

де,, —довільні числа.

        Якщо А —довільнаквадратнаматриця й

то Аназиваєтьсясиметричною;якщо ж


то —кососиметричною. [4]

>Поняттявизначника.Розглянемодовільнуквадратнуматрицюбудь-якого порядку n:

>Визначник (чидетермінант)визначається длядовільноїквадратноїматриці А, йявляє собоюполіном від всіхїїелементів.Позначається — чиdet(A), чи — врозгорнутомувигляді

(>матрицяобмежуєтьсявертикальнимилініями).Маючи значноматриці А, проїївизначниккажуть як провизначник порядку п.

Дляп=1:

дляп=2:


дляп=3:

для п = 4 формуластаєгроміздкою.

>Введемотепервизначникдовільного порядку п.

>Впорядкована парарізнихнатуральних чисел (>а,b)утворюєінверсію (чипорушення порядку),якщо .Будемопозначати числоінверсій впарі (>а,b) через . Таким чином

Кількістьінверсій впослідовностірізнихнатуральних чиселвизначаєтьсянаступним чином:

>Визначником (чидетермінантом)матриці


>Називається

де сумапоширюється навсілякі перестановкиелементів , Кількість пназивається порядкомвизначника. Узагальномувипадку сума, щовизначаєдетермінант порядку п,містить п!доданків,кожен із якіявляє собоюдобуток пелементіввизначника,взятих за одним із шкірного рядка і із шкірногостовпця (>тобто после того, як вдобутоквставляєтьсяелемент понад вцейдобуток неберетьсяжодногоелемента ізj-го рядка таk-гостовпця). Знак вдобуткувизначається повказаномувище правилу.

1.2Власнізначення тавласнівекториматриці

>Якщо А —квадратнаматрицяп-го порядку й при , то число lназиваєтьсявласнимзначеннямматриці, аненульовий вектор x —відповіднимйомувласним вектором.Перепишемо завдання такомувигляді

(1)

Дляіснуваннянетривіальногорозв’язкузадачі (1)маєвиконуватисяумова

   (2)


>Цейвизначникявляє собою багаточленп-їстепені від l; йогоназиваютьхарактеристичниммногочленом.Значить,існує пвласнихзначень —коренів цого багаточлена,серед якіможуть бутиоднакові (>кратні).

>Якщознайденодеякевласнезначення, то, припідстановці його воднорідну систему (1), можнавизначитивідповіднийвласний вектор.Будемонормувативласнівектори[1].Тодікожному простому (не кратному)власномузначеннювідповідає один (ізточністю до напрямі)власний вектор, асукупність всіхвласнихвекторів, щовідповідаютьсукупностіпростихвласнихзначень,лінійно-незалежна. Таким чином,якщо усівласнізначенняматриціпрості, то вонмає плінійно-незалежнихвласнихвекторів, котріутворюють базиспростору.

>Кратномувласномузначеннюкратності рможевідповідати від 1 до рлінійно-незалежнихвласнихвекторів.Наприклад,розглянемотакіматриці четвертого порядку:

        (3)

Укожної із ниххарактеристичнерівнянняприймаєвигляд , аотже,власнезначення ймаєкратністьр=4.Проте впершоїматрицієчотирилінійно-незалежнихвласних вектора


               (4)

Удругоїматриціє лише одинвласний вектор е1. Друговіматрицюназивають простоюжордановою (чикласичною)підматрицею.Третяматрицямає такзвануканонічнужорданову форму (подіагоналі стояти чи числа, чижордановіпідматриці, аіншіелементидорівнюютьнулеві).

Таким чином,якщосередвласнихзначеньматрицієкратні, тоїївласнівектори незавждиутворюють базис. Однак й в цьомувипадкувласнівектори, щовідповідаютьрізнимвласнимзначенням, єлінійно-незалежними.[3,стор 156]

Прирозв’язуваннітеоретичних йпрактичних завдань частовиникає потребавизначитивласнізначенняданоїматриці А,тобтообчислитикореніїївікового (>характеристичного)рівняння

>det(A -lE) = 0 (2)

атакожзнайтивідповіднівласнівекторіматриці А. Друга завданняєпростішою,оскількиякщокореніхарактеристичногорівняннявідомі, тознаходженнявласнихвекторівзводиться довідшуканняненульовихрозв’язківдеякиходноріднихлінійних систем. Тому ми впершучергу будемозайматисяпершоюзадачею —відшуканнямкоренівхарактеристичногорівняння (2).

Ось у основномузастосовуються дваприйоми: 1)розгортаннявіковоговизначника вполіномn-гостепеня

>D(l) =det(A -lE)


ізподальшимрозв’язкомрівнянняD(l) = 0 одним ізвідомихнаближених,взагалікажучи,способів (>наприклад, методомЛобачевського-Греффе)наближеневизначеннякоренівхарактеристичногорівняння (>найчастішенайбільших по модулю) методомітерації, безпопередньогорозгортаннявіковоговизначника.

>Розгортаннявіковоговизначника.

яквідомо,віковимвизначникомматриці А = [a>ij]називаєтьсявизначниквигляду

>D(l) =det(A -lE) = (1)

>Прирівнюючицейвизначник нанівець,одержуємохарактеристичнерівняння

>D(l) = 0

>Якщопотрібнознайти всекорінняхарактеристичногорівняння, тодоцільнозаздалегідьобчислитивизначник (1).

>Розгортаючивизначник (1),одержуємополіномn-гостепеня

    (2)

Де

>є сума всіхдіагональнихмінорів Першого порядкуматриці А.


>є сумавсьогодіагональногомінору іншого порядкуматриці А;

— сума всіхдіагональнихмінорівтретього порядкуматриці А й т.д.Нарешті

>sn =det A.

Легкопереконатися, що числодіагональнихмінорівk-го порядкуматриці Адорівнює

      (>k = 1, 2, …, n ).

>Звідсиодержуємо, щобезпосереднєобчисленнякоефіцієнтівхарактеристичногополінома (2)еквівалентнообчисленню

>визначниківрізнихпорядків.Остання завдання,взагалікажучи,технічноважкоздійснена дляскільки-небудь великихзначень n. Томуствореніспеціальніметодирозгортаннявіковихвизначників (>методи А. М.Крилова, А. М.Данілевського,Леверье, методневизначенихкоефіцієнтів, методінтерполяції таін.).


>Розділ ІІ.Знаходженнявласнихвекторів йвласнихзначеньматриць

2.1 Метод А. М.Данілевського

Суть методу А. М.Данілевського [1]полягає вприведеннівіковоговизначника до так званого нормального видуФробеніуса

.       (1)

>Якщо намвдалосязаписативіковоговизначника уформі (1), то,розкладаючи його поелементах Першого рядка,матимемо:

>Або

. (2)

Таким чином,розгортаннявіковоговизначника, записаного внормальнійформі (1), непредставляєтруднощів.Позначимо через


>дануматрицю, а ще через

—подібнуїйматрицюФробеніуса,тобто

,

де P.S -особливаматриця.

Ос-кількиподібніматриціволодіютьоднаковимихарактеристичнимиполіномами, то маємо:

>det(A-lE)=det(P-lE). (3)

Тому дляобґрунтування методудоситьпоказати,яким чином,виходячи ізматриці А,будуєтьсяматриця Р.Згідно методу А. М.Данілевського,перехід відматриці Доподібноїїйматриці Рздійснюється задопомогою т - 1перетворенняподібності, щопослідовноперетворюють рядкиматриці А,починаючи ізостанньої, увідповідні рядкиматриці Р.

>Покажемо вушкопроцесу. Намнеобхідно ряд

перекласти на ряд 0 0 ... 1 0.Припускаючи, що ,розділимо усіелементи (>n-1) - гостовпцяматриці На .Тодіїї енну кількість рядприймевигляд


.

>Потімвіднімемо (>n-1) - істовпецьперетвореноїматриці,помноженийвідповідно на числа ,зівсієїрештиїїстовпців.

Урезультаті одержимоматрицю,останній рядякоїмаєбажанийвигляд 0 0 ... 1 0.Вказаніопераціїєелементарнимиперетвореннями, щоздійснюються надстовпцямиматриці А.Виконавшиці жперетворення надодиничноюматрицею, одержимоматрицю

Де

 при й n - 1(4)

І

 .(4')

>Звідсиробимовисновок, щопроведеніопераціїрівносильнімноженню справаматриці наматрицю А,тобто послевказанихперетворень одержимоматрицю


. (5)

>Використовуючи правиломноженняматриць,знаходимо, щоелементиматриці Уобчислюються занаступними формулами:

 (6)

 (6')

>Протепобудованаматриця не якщоподібнаматриці А. Ащоб матірперетворенняподібності,потрібнооберненуматрицюзлівапомножити наматрицю У:

.

>Безпосередньоюперевіркою легкопереконатися, щооберненаматрицямаєвигляд

(7)

>Нехай


Отже

 (8)

Ос-кільки, очевидно,множеннязліваматриці наматрицю Незмінюєперетвореного рядкаостанньої, томатриця Змаєвигляд

      (9)

>Перемножуючиматриці (7) й B (5),матимемо:

 (10)

І

 (10')

Таким чином,множення наматрицю Узмінюєлише (n - 1) -і рядматриці У.Елементи цого рядказнаходяться за формулами (10) й (10').Одержанаматриця Зподібнаматриці А ймає одинзведений ряд.Цимзакінчуєтьсяпершийетаппроцесу.

>Далі,якщо , то надматрицею З можнаповторитианалогічніоперації,узявши в основі (n - 2) -іїї ряд. Урезультаті одержимоматрицю

іздвомазведеними рядками. Надостанньоюматрицеюпроробляємо тих жоперації.Продовжуючицей процес, ми,нарешті, одержимоматрицюФробеніуса

>якщо,звичайно, усі n - 1проміжнихперетвореньможливі. Весь процесможе бути оформлень взручнуобчислювальну схему,складанняякоїпокажемо нанаступномуприкладі.

>Приклад. Привести довиглядуФробеніусаматрицю

.

>Розв’язання.

>Обчисленнярозташовуємо втаблицю 1.

Номер

рядка

>Рядкиматриці > >’
1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

4

2

1

2

3

3

2

1

2

4

3

2

1

10

8

8

10

І

 

–2 –1,5 0,5–1 –0,5 –5

5

6

7

8

4

3

2

1

–5

2

1

0

–2,5

–2

0,5

0

1,5

1

0,5

1

2,5

2

1,5

0

–3,5

–1

3,5

1

–5

–2

3

0

7’ –24 –15 11 19 –9
ІІ

 

–1,600

–0,067

–1

0,733 1,267 –0,600
9 –24 –1 0,167 –0,333 –0,667 –1,833 –2
10 –15 1,2 0,133 –0,467 –0,533 0,333 0,2
11 11 0 1 0 0 1 0
12 19 0 0 1 0 1 1
10’ 6 5 34 24 69
ІІІ

 

0,167–1 –0,833 –5,667 –4,000 –11,500
13 6 –0,167 1 5,333 3,333 9,500 9,667
14 5 1 0 0 0 1 0
15 34 0 1 0 0 1 1
16 24 0 0 1 0 1 1
13’ 4 40 56 20 120

Урядках 1-4таблиці 1розміщуємоелементиданоїматриці йконтрольнісуми .Відзначаємоелемент , щоналежитьтретьомустовпцю (>відміченийстовпець). У рядку 1записуємоелементитретього рядкаматриці , щообчислюються за формулами (4) й (4'):

>Сюди ж (ряд 1таблиці 1)поміщаємоелемент

щоодержуєтьсяаналогічнимприйомом із контрольногостовпця. Кількість -5 виннеспівпасти ізсумоюелементів рядка I, що невходять вконтрольнийстовпець (послезаміниелементу на -1). Длязручності число -1записуємопоряд ізелементом ,відокремлюючи відостанньогомежею.

Урядках 5-8 вграфі М-1виписуємотретій рядматриці М-1, Яка зформули (7)співпадає ізчетвертим рядкомпочатковоїматриці А. Урядках 5-8 увідповіднихстовпцяхвиписуємоелементиматриці

B =АМ3,

щообчислюються задвочленними формулами (6) дляневідміченихстовпців й поодночленнійформулі (6') длявідміченогостовпця.Наприклад, для Першогостовпця маємо:

й т.д.

>Перетвореніелементитретього (>відміченого)стовпцяотримуються задопомогоюмноженняпочатковихелементів на = 0,5.Наприклад,

>Відмітимо, щоостанній рядматриці У винен матірвигляд

0 0 1 0.

Для контролюпоповнюємоматрицю Уперетвореними поаналогічнихдвочленних формулах ізвідповіднимиелементамистовпця.Наприклад,

>Отриманірезультатизаписуємо встовпці' увідповіднихрядках.Додавши перед тимелементитретьогостовпця, одержимоконтрольнісуми

длярядків 5-8 (>стовпець).

>Перетворення ,щопроведене надматрицею й щодаєматрицю ,змінюєлишетретій рядматриці У,тобтосьомий рядтаблиці.Елементи цогоперетвореного рядка 7'виходять поформулі (10),тобтоє сумамипарнихдобутківелементівстовпця , щознаходяться врядках 5-8, навідповідніелементи шкірного зстовпцівматриці У.Наприклад

й т. буд.

>Такі жперетворенняпроводимо надстовпцем:

Урезультатіодержуємоматрицю З, щоскладається ізрядків 5, 6, 7', 8 із контрольними сумами,причомуматриця Зподібнаматриці А ймає одинзведений ряд 8.Цимзакінчуєтьсяпобудова Першогоподібногоперетворення .

>Далі,прийнявшиматрицю З завихідну йвиділившиелемент (>другийстовпець),продовжуємо процесаналогічним чином. Урезультатіодержуємоматрицю ,елементиякоїрозташовані врядках 9, 10', 11, 12, щомістить двазведені рядки.Нарешті,відправляючись віделементу (>першийстовпець) йперетворюючиматрицю D вподібнуїй,одержуємошукануматрицюФробеніуса Р,елементиякоїзаписані врядках 13', 14, 15, 16. Накожномуетапіпроцесу контрольздійснюється задопомогоюстовпців й'.

Таким чином,матрицяФробеніуса якщо матірвигляд:


>Звідсивіковийвизначник, приведень до нормального видуФробеніуса,запишеться так:

чи

.

>Винятковівипадки вметоді А. М.Данілевського.

>Процес А. М.Данілевського [1]відбувається без жаднихускладнень,якщо усіелементи, щовиділяються,відмінні від нуля. Мизупинимося тепер навинятковихвипадках, колицявимогапорушується.

>Припустимо, що приперетворенніматриці НаматрицюФробеніуса Р ми последекількохкроків прийшли доматрицівигляду


,

>причомувиявилось, що .

>Тодіпродовжуватиперетворення методом А. М.Данілевського не можна. Тутможливі двавипадки.

1.Нехайякийсьелементматриці D, щостоїтьліворучнульовогоелемента ,відмінний від нуля,тобто , де.Тодіцейелементвисуваємо намісценульовогоелементу ,тобтопереставляємо (>k-1) -і йk -істовпціматриці D йодночаснопереставляємоїї (>k-1) -і йl-й рядки.Можна довести, що здобуто новаматриця D' якщоподібнаколишній. Доновоїматрицізастосовуємо методА.М.Данілевського.

2.Нехай , тоді Dмаєвигляд


У такомуразівіковийвизначникdet(D -lЕ)розпадається на двавизначники

>det (D -lЕ) =det (D1 -lЕ)det (D2 -lЕ).

При цьомуматриця D2 уже приведено доканонічноїформиФробеніуса й томуdet (D2 -lЕ)обчислюєтьсявідразу.Залишаєтьсязастосувати метод А. М.Данілевського доматриці D1.

>Обчисленнявласнихвекторів методом А. М.Данілевського.

Метод А. М.Данілевського [1]даєможливістьвизначативласнівекториданоїматриці А,якщовідоміїївласнізначення.Неай l —власнезначенняматриці А, аотже, і, власнезначенняподібноїїйматриціФробеніуса Р.

>Знайдемовласний векторматриці Р,відповіднийданомузначенню l: Ру =lу.Звідси (Р -lЕ) у = 0 чи

>Перемножуючиматриці, одержимо систему длявизначення координатвласного вектора у:


 (1)

Система (1) —однорідна. Зточністю докоефіцієнтапропорційностірозв’язкиїїможуть бутизнайдені таким чином.Покладемо yn=1.Тодіпослідовно одержимо:

(2)

Таким чином,шуканийвласний векторє

.

>Позначимотепер через xвласний векторматриці А, щовідповідаєзначенню l.Тоді, очевидно, маємо:


.

>Перетворення M1,здійснене над y,дає:

Таким чином,перетворення М1змінюєлишепершу координату вектора.Аналогічноперетворення М2змінитьлише другу координату вектора М1у й т.д.Повторившицей процесn-1разів, одержимошуканийвласний вектор xматриці А.

2.2 Метод А. М.Крилова

>Приведемо методрозгортаннявіковоговизначника, щоналежить А. М.Крилову [1] йзаснований наістотноіншій ідеї, ніж метод А. М.Данілевського.

>Нехай

(1)

—характеристичнийполіном (ізточністю до знаку)матриці А.ЗгіднототожностіГамільтона-Келі,матриця Аобертає в нульсвійхарактеристичнийполіном; тому

. (2)


>Візьмемотепердовільнийненульовий вектор

.

>Множачиобидвічастинирівності (2) справа на , одержимо:

. (3)

>Покладемо:

; (4)

тодірівність (3)набуваєвигляду

 (5)

чи

(5’)


Де

Отже,векторнарівність (5)еквівалентнасистемірівнянь

   (6)

ізякої,взагалікажучи, можнавизначитиневідомікоефіцієнти .

Ос-кільки напідставіформули (4)

,

токоординати векторапослідовнообчислюються за формулами

(7)

Таким чином,визначеннякоефіцієнтівpj >характеристичногополінома (1) методом А. М.Криловазводиться дорозв’язаннялінійноїсистемирівнянь (6),коефіцієнтиякоїобчислюються за формулами (7),причомукоординатипочаткового вектора

>довільні.Якщо система (6)має Єдинийрозв’язок, тоїїкорені р1, р2 . . ., рnєкоефіцієнтамихарактеристичногополінома (1).Цейрозв’язокможе бутизнайдено,наприклад, методомГауса.Якщо система (6) немаєєдиногорозв’язку, то заподіянняускладнюється. У цьомувипадкурекомендуєтьсязмінитипочатковий вектор.

>Приклад. Методом А. М.Криловазнайтихарактеристичнийполіномматриці

>Розв’язання.Виберемопочатковий вектор


>Користуючись формулами (7),визначимокоординативекторів

.

>Маємо:

>Складемо систему (6):


котра в нашомувипадкумаєвигляд

>Звідси

>Розв’язавшицю систему, одержимо:

.

Отже

,

щоспівпадає із результатом,знайденим методом А. М.Данілевського.

>Обчисленнявласнихвекторів методом А. М.Крилова.

Метод А. М.Криловадаєможливість простознайтивідповіднівласнівектори [1].

Дляпростотиобмежимосявипадком, колихарактеристичнийполіном

(1)

>маєрізнікорені .Припустимо, щокоефіцієнтиполінома (1) й йогокоренівизначені.Потрібнознайтивласнівектори , щовідповідаютьвідповідновласнимзначенням .

>Нехай —вектори,використані вметодіА.Н.Крилова длязнаходженнякоефіцієнтів .Розкладаючи вектор y(0) повласних вектори,матимемо:

(2)

де —деякічисловікоефіцієнти.Звідси,враховуючи, що

,

одержимо:

(3)

>Нехай

(4)


 —довільна системаполіномів.Складаючилінійнукомбінаціювекторів ізкоефіцієнтами , зспіввідношень (2) й (3)знаходимо:

.(5)

>Якщопокласти

,(6)

то, очевидно

 при

І

Формула (5) при цьомуприймаєвигляд

. (7)

Таким чином,якщо , то здобутолінійнакомбінаціявекторівдаєвласний вектор x(й) ізточністю до числовогомножника.

>Коефіцієнтиможуть бути легковизначені засхемоюГорнера

2.3 МетодЛеверрьє

>Цей метод [1]розкриттявіковоговизначниказаснований на формулах Ньютона для торбстепенівкоренівалгебраїчногорівняння.

>Нехай

(1)

—характеристичнийполіномданоїматриці та —повнасукупність йогокоренів, декоженкоріньповторюється скількиразів, Яка йогократність.

>Покладемо

 .

>Тоді присправедливіформули Ньютона

. (2)

>Звідси


(3)

>Якщосумивідомі, то "задопомогою формул (3) можнакрок закрокомвизначитикоефіцієнтихарактеристичногополінома (1).

>Сумиобчислюються таким чином: для маємо:

>Тобто

(4)

>Далі, яквідомо,євласнимизначеннямиматриці. Тому

>тобтоякщо

то


. (5)

>Степенізнаходятьсябезпосереднімперемножуванням.

Таким чином, схемарозкриттявіковоговизначника методомЛеверрьє вельми проста, асаме:спочаткуобчислюються —степеніданоїматриці А,потімзнаходятьсявідповідніs>k -сумиелементівголовнихдіагоналейматриць ,нарешті, по формулах (3)визначаютьсяшуканікоефіцієнти .

МетодЛеверрьє вельмитрудомісткий,оскільки доводитисяпідраховувативисокістепеніданоїматриці.Достоїнство його —нескладна схемаобчислень йвідсутністьвинятковихвипадків.

>Приклад. МетодомЛеверрьєрозгорнутихарактеристичнийвизначникматриці

>Розв’язання.Утворюємостепеніматриці А.Маємо:


>Відмітимо, що не було бнеобхідностіобчислюватиповністю,досить було бзнайтилишеголовнідіагональніелементицієїматриці.

>Звідси

Отже, по формулах (3)матимемо:


Таким чином, миодержуємо ужевідомий результат:

2.4 Методневизначенихкоефіцієнтів

>Розгортаннявіковоговизначника можнатакожздійснити задопомогоюзнаходженнядоситьвеликоїкількості йогочисловихзначень.

>Нехай

(1)

>євіковимвизначникомматриці А,тобто

.

>Якщо врівності (1)послідовнопокласти, то тут длякоефіцієнтів одержимо системулінійнихрівнянь

(2)


>Звідси

(3)

І

Зсистеми (3) можнавизначитикоефіцієнтихарактеристичногополінома (1).

>Вводячиматрицю

йвектори

систему (3) можназаписати увигляді матричногорівняння


 (4)

>звідси

(5)

>Відмітимо, щооберненаматрицязалежить лише від порядку nвіковоговизначника йможе бутизнайдена наперед,якщо доводитися матірсправу ізмасовимрозкриттямвіковихвизначників одного й того ж порядку.

Таким чином,застосування цого методузводиться дообчисленнячисловихвизначників

йзнаходженнярозв’язкустандартноїлінійноїсистеми (4).

2.5 Методскалярнихдобутків длязнаходження Першоговласногозначеннядійсноїматриці

Длявідшукання Першоговласногозначеннядійсноїматриці А можнавказатидещоіншийітераційний процес, щоєінодівигіднішим. Метод [1]заснований наутворенніскалярнихдобутків

 й

 де А' —матриця,транспонована ізматрицею А, й у0 —вибранийяким-небудь чиномпочатковий вектор.

>Переходимотепер довикладу самого методу.

>Нехай А —дійснаматриця й —їївласнізначення, котріпередбачаютьсярізними,причому

>Візьмемодеякийненульовий вектор у0 й задопомогоюматриці Апобудуємопослідовністьітерацій

(1)

Для вектора у0утворюємотакож задопомогоютранспонованоїматриці А' другупослідовністьітерацій

(2)

де .

>Згідно ізтеоремою 1розділу X § 16 впросторі Єпвиберемо двавласнібазиси йвідповідно дляматриць А й А', щозадовольняютьумовамбіортонормування:

(3)

де й .Позначимокоординати вектора у0 вбазисі через , абазисі — черезтобто

 й


>Звідси

(4)

І

()

>Складемоскалярнийдобуток

>Звідси черезумовуортонормуваннязнаходимо:

(5)

>Аналогічно

(6)

Отже, при маємо:


Таким чином,

(7)

>Цей метод особливозручний длясиметричноїматриці А,оскільки тодіА'=А, й ми маємо просто

(8)

й,отже, тутпотрібнопобудувати лише однупослідовність .

>Приклад. Методомскалярнихдобутківзнайтинайбільшевласнезначенняматриці

>Розв’язання. Ос-кількиматриця А

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація