Реферати українською » Математика » Аналітична математика


Реферат Аналітична математика

Глава 1. Рівняння, системи рівнянь.

1. Лінійні рівняння.

1.Уравнение першого ступеня виду , називається лінійним рівнянням. Де - перемінні, числа і які стоять перед перемінними називаються коефіцієнтами, чи - вільні члени. Запишемо лінійне рівняння

                  (1)

Аби вирішити рівняння (1) перенесемо перемінні містять коефіцієнти, у ліві частина рівняння з позитивним знаком, а вільні члени в праву частина рівняння з негативним знаком, одержимо рівняння виду

                    (2)

Нехай , а , тоді рівняння (2) матиме вид

                  (3)

Приклади.

1) Вирішити рівняння

>Перенесем невідомі з коефіцієнтами у ліві частина рівняння , а вільні члени в праву частина, одержимо

Використовуючи рівняння (3) одержимо

Відповідь:

2) Вирішити рівняння

Очевидно, у цьому рівнянні є одна негативний вільний член – 4. Але, переносячи їх у праву частина рівняння ще з однією негативним знаком, одержимо , тоді

Звідси

Відповідь:

3) Вирішити рівняння

У цьому вся рівнянні один коефіцієнт негативний, переносячи його ще з позитивним знаком у ліві частина - ні сенсу,т.к. , тоді

Звідси

Відповідь:

4)

Використовуючи пояснення до рівнянню 2), одержимо

Звідси

Відповідь:

5)

Використовуючи пояснення, наведені до рівнянням 1), 2), 3), 4), одержимо

Звідси

Відповідь:

4

2. Нехай дано лінійне рівняння виду

             (4)

На відміну від рівняння (1) перемінні, містять коефіцієнти, переносяться у ліві частину з негативним знаком, в праву частина вільні члени переносяться теж зі знаком негативним. Але вільний член в рівнянні (4) й дуже стоїть у правій частині, й тому він нічого очікувати змінювати знак, змінить знак лише член . І, вирішимо рівняння (4).

>Перенесем перемінні з коефіцієнтами у ліві частину з негативним знаком, а член в праву частина також із негативним знаком, одержимо

            (5)

Звідси

Якщо , то

Рішення рівняння (4) можна записати як системи

       (6)

Приклад. Вирішити рівняння

>Перенесем невідомі з коефіцієнтами у ліві частину з негативним знаком, а член в праву частина зі знаком «мінус», тоді

Звідси

Відповідь:

3.Линейное рівняння з цими двома перемінними має вигляд:

               (7)

Аби вирішити рівняння (7) висловимо зміну через зміну , тобто. одержимо рівняння виду

                      (8)

Для знаходження рішення рівняння (7) в рівнянні (8) вибирається довільне (будь-яке) значення . Отже, рівняння (7) має безліччю рішень.

Приклад. Вирішити рівняння

Скористаємося формулою (8), тоді

Тепер виберемо абсолютно будь-яке значення ікса, наприклад, при

 , одержимо

Відповідь:

2. Квадратні рівняння.

>Уравнение другого ступеня виду називається квадратним. Аби вирішити такого рівняння скористаємося такими формулами:

 і (9)

І де та - коріння квадратного рівняння

Нехай , тоді якщо , можна записати

                                                    (10)

Якщо , то рівняння немає рішень.

Приклад. Вирішити рівняння

Користуючись формулами (9) одержимо

Відповідь: і

3.Уравнение третин ступеня.

>Уравнение третин ступеня виду називаєтьсякубичним рівнянням. Аби вирішити такого рівняння замінимо невідоме - на коефіцієнт і вводячи підстановку

Одержимо більш спрощене рівняння третин ступеня

        (11)

Оскільки рівняння в третин ступеня, то відповідно рішеннями цього рівняння будуть три кореня, що зараз визначимо з такої системи

         (12)

Коріння - має рішення рівняння, де - комплексне число.

 

4. Рівняння вищих ступенів які зводяться до квадратним.

>1.Рассмотрим рівняння, яка має одна змінна перебуває у четвертого ступеня, тобто. дано рівняння виду

             (13)

Аби вирішити такого рівняння, висловимо через , одержимо,

                (14)

Вирішуючи це рівняння за такими формулам, маємо

 і (15)

Приклад. Вирішити рівняння.

>Виразим через , одержимо , вирішуючи це рівняння по формулам (19) одержимо

 

Звідси отримуємо безліч коренів (рішень)

Відповідь:

2. Розглянемо рівняння, яка має одна ступінь перебуває у п'ятого ступеня, тобто. є рівняння виду

               (16)

Аби вирішити такого рівняння виберемо зміну, що має ступінь сама менша, проти іншими ступенями, це завжди буде змінна , виносячи за скобку одержимо

             (17)

Звідси , тобто. ми маємо деяке безліч нулів.Уравнение , вирішується черездискриминант. 

Приклад. Вирішити рівняння

>Винесем за скобку, одержимо , звідси , який має безліч коренів (0; 0; 0). Далі, вирішуючи рівняння одержимо і . Отже, отримали безліч рішень (0; 0; 0; -2; ).

5. Системи рівнянь.

Нехай дана система рівнянь

                   (18)

де - коефіцієнти при невідомих і , і - вільні члени.

Система (18) вирішується трьома способами 1)Графический спосіб; 2) Спосіб підстановки; 3) Спосіб складання. Перший спосіб розглядати думати. Інші способи розглянемо під час вирішення наступних систем рівнянь.

1) Спосіб підстановки.

Візьмемо перше рівняння системи та від цього рівняння висловимо через , одержимо

>Подставив цей вислів на друге рівняння системи, одержимо

Звідси,

Запишемо останнє рівняння і вирішимо його

>Подставив тепер знайдене значення в вираз, що стоїть вище, одержимо

Відповідь: і

2) Спосіб складання.

Помножимо друге рівняння система на 2, одержимо

Потім, склавшипочленно рівняння системи, одержимо . Знайдемо значення ігрека, при цьому знайдене значення ікса підставимо у будь-яку довільну рівняння вихідної (початкової) системи, одержимо

3) Спосіб складання.

 

Запишемо систему

Помножимо перше рівняння на 2, а друге на 2, одержимо:

Додаймо6x і8x, одержимо14x і 12+6=18, звідси .Подставив тепер значення x у будь-яку довільну рівняння системи, одержимо

Відповідь:

7. Система трьох рівнянь із трьома перемінними.

                           (19)

де - коефіцієнти при невідомих , - вільні члени.

Аби вирішити системи (19) складемо визначник

                        (20)

Перше число у індексу вказує число (номер) рядки, друге число – номер шпальти. Сам визначник позначається буквоюd.

Для обчислення означника користуються правилом Крамера, тобто.

>d==

Коріння системи (24) перебувають по формулам

Де - числа, які треба визначити з такого правилу

Так само методом визначаються інші визначники


Глава 2. Графік функції

1. Графік функції.

Функція називається лінійної функцією. Для перебування точок перетину графіка функції потрібно вирішити два рівняння:

Приклад. Функція задана рівнянням , знайти точки перетину з осями координат.

Вирішимо два рівняння

Відповідь: точки x =-2 і y = 4 є точками перетину з осями координат.

2.Квадратичная функція.

Функція виду називаєтьсяквадратичной. Для перебування точок перетину графіка з осями координат, потрібно вирішити квадратне рівняння


Глава 3 Межі

1. Межа функції

Приклад. Знайти межа функції

Оскільки ікс прагне двом, тобто. , то чисельнику і знаменнику замінюємо все ікси на 2, в такий спосіб, отримуємо

Відповідь:

Розглянемо випадок, коли ікс прямує до нескінченності. Нехай

>Разделим чисельник і знаменник на високий рівень аргументу , одержимо

Відповідь:

Нехай , розділимо чисельник і знаменник на , одержимо

Відповідь: 4

Знайти межа

Звідси  

Відповідь: 5


Глава 4 Похідні

1. Звичайні похідні

Нехай дана функція , потрібно знайти похідну. Відповідно до вираженню , одержимо .

Приклад: Знайти похідну функції

Звідси

Відповідь:

2.Производная функції однієї перемінної.

Функція однієї перемінної має вигляд , відповідно функція постійно змінюється зі швидкістю, кожної кордоном зміни цієї функції є межа, що можна записати як

            (21)

Функція називаєтьсядифференцируемой у точці x якщо межа (21)

існує.

3. Похідні виду

У курсі диференційних рівнянь часто можна побачити вираз .

Йдеться приватної похідною, у тому вираженні змінна x диференціюється по перемінної y. Розглянемо вираз виду , у разі зміну x диференціюють двічі по перемінної y.

Приклад. Знайти похідну , якщо

Відповідь:


ГЛАВА 5.ИНТЕГРАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ

1.Неопределенние і певні інтеграли.

Безлічпервообразних функції називається невизначеним інтегралом. Такий невизначений інтеграл позначається в такий спосіб:

Де -подинтегральная функція, -подинтегральное вираз, - стала інтегрування.

Приклад: Обчислити інтеграл

Знаходимопервообразную для функції , одержимо , тому

 

Приклад: Знайти

Знайдемопервообразную для функції , одержимо , тому

Приклад: Знайти 

Застосовуємо метод безпосереднього інтегрування, одержимо

Приклад: Знайти

Скористаємося методом підстановки, одержимо

Тоді

Приклад: Знайти

Скористаємося методом інтегрування частинами, одержимо

 

Звідси

Приклад. Знайти

>Применим метод інтегрування частинами, одержимо

Звідси

Розглянемо інтеграл виду , такий інтеграл називається певним. Кількість а – називається нижньою межею, а число b – верхнім межею.

Приклад: Знайти

1. Знаходимо невизначений інтеграл, методом інтегрування частинами,

Звідси,

Тоді

Приклад: Знайти

Звідси,

Тоді


Схожі реферати:

Навігація