Реферати українською » Математика » Типовий розрахунок графів


Реферат Типовий розрахунок графів

Ця робота є типовим розрахункомN2 за курсом ">Дискретная математика" на тему ">Графи", запропонована студентам МДТУ їм. Баумана. (Варіант N 17).

Відразу сказати на свої колег: Громадяни!Имейте терпіння та сумління, зрозумійте, що це роблю для Вас з єдиною метою допомогти йому розібратися у цій темі, а чи не просто звалити черговий предмет. Мені вже відомо, як складно тепер із літературою, і з туристичною інформацією взагалі. Пошуки невідомо який книжки займають чимало часу, тому наприкінці процитував невеличкий список літератури, складений мною із джерел на додаток до списку, написаному до цього часу роботу з графам (про постановкулаб. робіт з алгоритму Прима іДейкстра), яка, сподіваюся, є у мережі.

Зміст роботи:

Типовий розрахунок складається з одинадцяти завдань:

1, 2 і трьох завдання ставляться до способів завдання графів іопредению їх характеристик, як-от діаметр, радіус тощо.

4 і п'яти завдання відповідно на алгоритм Прима іДейкстра. Я знову відсилаю Вас до більш ранньої роботі (див. вище).

6-та завдання про пошуку максимального потоку у мережі (методФорда-Фалкерсона).

7-ма завдання -Эйлерова ланцюг (завдання про листоноші).

8-а завдання -Гамильтонова ланцюг.

9-та завдання - метод гілок і національних кордонів стосовно завданню прокоммивояжере.

10-та завдання - завдання про призначення; угорський алгоритм.

11-та завдання - теж методом гілок і національних кордонів.

>Gор(V,X)

>Рис. 1

>Задача1 Длянеориентированного графа G, асоційованого з графомGор виписати (>перенумеровав вершини) :

а) безліч вершин V і безліч ребер X,G(V,X);

б) списки суміжності;

в) матрицюинцидентности;

р) матрицю терезів.

буд) Для графаGор виписати матрицю суміжності.

>Нумерация вершин - див.Рис 1

а)V={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

>X={{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,3},{2,5},{3,8},{3,9},{4,5},{4,6},{5,3},{5,6},{5,8},{6,9},{7,8},{7,9},{8,9}}

Надалі ребра будуть позначатися номерами у зазначеному порядку починаючи від початку.

б)Г0={1,2,3};

>Г1={0,2,4,5,6,7};

>Г2={0,1,3,5};

>Г3={0,2,5,8,9};

>Г4={1,5,6};

>Г5={1,2,3,4,6,8};

>Г6={1,4,5,9};

>Г7={1,8,9};

>Г8={1,3,5,7,9};

>Г9={3,6,7,8};

в)Нумерация вершин і ребер відповідно п. а)

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

р)Показана верхня половина матриці,т.к. матриця терезівнеориентированного графа симетрична щодо головною діагоналі.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

>

8

3

5

>

>

>

>

>

>

1

 

>

1

>

2

2

4

5

>

>

2

   

>

2

>

5

>

>

>

>

3

     

>

>

1

>

>

1

6

4

       

>

4

2

>

>

>

5

         

>

2

>

1

>

6

           

>

>

>

2

7

             

>

1

1

8

               

>

6

9

                 

>

буд) Матриця суміжності для графаGор.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

>

1

1

1

>

>

>

>

>

>

1

-1

>

1

>

1

1

1

1

>

>

2

-1

-1

>

1

>

1

>

>

>

>

3

-1

>

-1

>

>

-1

>

>

1

1

4

>

-1

>

>

>

1

1

>

>

>

5

>

-1

-1

1

-1

>

1

>

1

>

6

>

-1

>

>

-1

-1

>

>

>

1

7

>

-1

>

>

>

>

>

>

1

1

8

>

>

>

-1

>

-1

>

-1

>

1

9

>

>

>

-1

>

>

-1

-1

-1

>

Завдання 2 Знайти діаметрD(G), радіусR(G), кількість центрівZ(G) для графа G ; вказати вершини, є центрами графа G.

>D(G)=2

>R(G)=2

>Z(G)=10

Усі вершини графаG(V,X) є центрами.

Завдання 3Перенумеровать вершини графа G, використовуючи алгоритми:

а) "пошуку глибину";

б) "пошуку ширину".

Вихідна вершина - a .

а)

б)

Завдання 4 Використовуючи алгоритм Прима знайти остов мінімального ваги графа G. виписати код укладання на площині знайденого дерева, прийнявши за кореневу вершину a .

Вага знайденого дерева - 14.

Код укладання дерева: 000011000001111111.

Завдання 5 Використовуючи алгоритмДейкстра знайтидерво найкоротших шляхів з вершини a графа G.

Вага знайденого шляху - 8.

Завдання 6 Використовуючи алгоритм Форда -Фалкерсона, знайти максимальний потік у виваженої двополюсної орієнтованої мережі {>Gор , a , w}. Вказати розріз мінімального ваги.

Послідовність насичення мережі (насичені ребра відзначенікружечками):

1-ї крок

2-ї крок

3-й крок

4-й крок

5-ї крок

6-ї крок

7-й крок

Остаточно маємо:

Як очевидно з малюнка, ребра {6,9},{7,9},{3,9}, котрі живлять вершину w , насичені, а що залишилося ребро {8,9},питающееся від вершини 8, неспроможна отримати великої ваги ваговій функції, оскільки насичені все ребра, котрі живлять вершину 8. Інакше кажучи - якщо відкинути все насичені ребра, то вершина w недосяжна, що є ознакою максимального потоку у мережі.

Максимальний потік у мережі дорівнює 12.

Мінімальний розріз мережі за кількістю ребер: {{0,1},{0,2},{0,3}}. Його пропускну здатність дорівнює 16

Мінімальний розріз мережі по пропускну здатність: {{6,9}, {7,9}, {3,9}, {3,8}, {5,8}, {7,8}}. Його пропускну здатність дорівнює 12.

Завдання 7 (Завдання про листоноші) Виписатистепенную послідовність вершин графа G.

а) Вказати в графі GЭйлерову ланцюг. Якщо такою ланцюга немає, то графі G додати найменше число ребер в такий спосіб, щоб у новому графі можна було вказатиЭйлерову ланцюг.

б) Вказати в графі GЭйлеров цикл. Якщо такої циклу немає, то графі G додати найменше число ребер в такий спосіб, щоб у новому графі можна було вказатиЭйлеров цикл.

Статечна послідовність вершин графа G:

(3,6,4,5,3,6,4,3,4,4)

а) Для існуванняЭйлеровой ланцюга припустиме лише дві вершини з непарними ступенями, тож треба додати одне ребро, скажімо між вершинами 4 і аналогічних сім.

ОтриманаЭйлерова ланцюг: 0,3,2,0,1,2,5,1,4,5,6,1,7,4,6,9,7,8,9,3,8,5,3.

СхемаЭйлеровой ланцюга (доданий ребро показано пунктиром):

б) Аналогічно пункту а) додаємо ребро {3,0}, замикаючиЭйлерову ланцюг (у своїй виконуючи умова існуванняЭйлерова циклу - парність ступенів всіх вершин).Ребро {3,0} кратну, що ні суперечить завданням, а можна запровадити ребра {0,7} і {4,3} замість раніше запроваджених.

ОтриманийЭйлеров цикл: 0,3,2,0,1,2,5,1,4,5,6,1,7,4,6,9,7,8,9,3,8,5,3,0.

СхемаЭйлерова циклу (додані ребра показані пунктиром):

Завдання 8

а) Вказати в графіGор Гамільтонів шлях. Якщо цей шлях немає, то графіGор змінити орієнтацію найменшого числа ребер в такий спосіб, щоб у новому графі Гамільтонів шлях можна було вказати.

б) Вказати в графіGор Гамільтонів цикл. Якщо такий цикл немає, то графіGор змінити орієнтацію найменшого числа ребер в такий спосіб, щоб у новому графі Гамільтонів цикл можна було вказати.

а) Гамільтонів шлях (ребра зі зміненою орієнтацією показані пунктиром):

б) Гамільтонів цикл (ребра зі зміненою орієнтацією показані пунктиром):

Завдання 9 (Завдання прокоммивояжере) Дан повний орієнтованийсимметрический граф з вершинамиx1,x2,...xn.Вес дугиxixj заданий елементамиVij матриці терезів. Використовуючи алгоритм методу гілок і національних кордонів, знайти Гамільтонів контур мінімального (максимального) ваги. Завдання на максимальне значенняГамильтонова контуру зводити до завданню на мінімальне значення, розглянувши матрицю із елементами ,де . Виконати малюнок.

Вихідна таблиця.

 

>x1

>x2

>x3

>x4

>x5

>x6

 

>x1

>

3

7

2

>

11

 

>x2

8

>

06

>

4

3

 

>x3

6

05

>

7

>

2

 

>x4

6

>

13

>

5

>

 

>x5

3

3

3

4

>

5

 

>x6

8

6

>

2

2

>

 
               

Таблиця Є 14

 

>x1

>x2

>x3

>x4

>x5

>x6

 

>x1

>

1

5

01

>

7

2

>x2

8

>

01

>

4

1

 

>x3

6

00

>

7

>

00

 

>x4

1

>

8

>

01

>

5

>x5

01

00

00

1

>

00

3

>x6

6

4

>

00

00

>

2

           

2

 

>Дробим по переходуx2-x3:

Таблиця 23 =14+0=14

 

>x1

>x2

>x4

>x5

>x6

 

>x1

>

1

01

>

7

 

>x3

6

>

7

>

06

 

>x4

1

>

>

01

>

 

>x5

01

01

1

>

00

 

>x6

6

4

00

00

>

 
             

Таблиця 23 =14+1=15

 

>x1

>x2

>x3

>x4

>x5

>x6

 

>x1

>

1

5

01

>

7

 

>x2

7

>

>

>

3

03

1

>x3

6

00

>

7

>

00

 

>x4

1

>

8

>

01

>

 

>x5

01

00

05

1

>

00

 

>x6

6

4

>

00

00

>

 
               

Продовжуємо по 23.Дробим по переходуx3-x6:

Таблиця23E36 =14+0=14

 

>x1

>x2

>x4

>x5

 

>x1

>

1

01

>

 

>x4

1

>

>

01

 

>x5

01

01

1

>

 

>x6

6

>

00

00

 
           

Таблиця 2336 =14+6=20

 

>x1

>x2

>x4

>x5

>x6

 

>x1

>

1

01

>

7

 

>x3

01

>

1

>

>

6

>x4

1

>

>

01

>

 

>x5

00

01

1

>

07

 

>x6

6

4

00

00

>

 
             

Продовжуємо по 2336.Дробим по переходуx4-x5:

Таблиця23E3645 =14+0=14

 

>x1

>x2

>x4

 

>x1

>

1

01

 

>x5

01

01

1

 

>x6

6

>

00

 
         

Таблиця 233645 =14+1=15

 

>x1

>x2

>x4

>x5

 

>x1

>

1

01

>

 

>x4

00

>

>

>

1

>x5

01

01

1

>

 

>x6

6

>

00

00

 
           

Продовжуємо по 233645.Дробим по переходуx5-x1:

Таблиця 23364551 =14+1=15

 

>x2

>x4

 

>x1

1

>

1

>x6

>

00

 
       

Таблиця 23364551 =14+6=20

 

>x1

>x2

>x4

 

>x1

>

1

01

 

>x5

>

01

>

 

>x6

0

>

00

 
 

6

     

Остаточно маємо Гамільтонів контур: 2,3,6,4,5,1,2.

>Прадереворазбиений:

Завдання 10 (Завдання про призначення) Дан повний двочастковий графKnn з вершинами першої часткиx1,x2,...xn.и вершинами інший часткиy1,y2,...yn..Вес ребра {>xi,yj} задається елементамиvij матриці терезів. Використовуючи угорський алгоритм, знайти досконалепаросочетание мінімального (максимального ваги). Виконати малюнок.

Матриця терезівдвудольного графаK55 :

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

>x1

2

0

0

0

0

>x2

0

7

9

8

6

>x3

0

1

3

2

2

>x4

0

8

7

6

4

>x5

0

7

6

8

3

Перший етап - отримання нулів непотрібен, т. до. нулі вже сьогодні існують переважають у всіх рядків і шпальтах.

Другий етап - перебування повногопаросочетания.

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

>x1

2

0

0

0

0

>x2

0

7

9

8

6

>x3

0

1

3

2

2

>x4

0

8

7

6

4

>x5

0

7

6

8

3

Третій етап - перебування максимальногопаросочетания.

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

2

0

0

0

0

X

>x2

0

7

9

8

6

X

>x3

0

1

3

2

2

 

>x4

0

8

7

6

4

 

>x5

0

7

6

8

3

 
 

X

X

       

Четвертий етап - перебування мінімальної опори.

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

2

0

0

0

0

 

>x2

0

7

9

8

6

5

>x3

0

1

3

2

2

1

>x4

0

8

7

6

4

2

>x5

0

7

6

8

3

3

 

4

         

П'ятий етап - можлива перестановка деяких нулів.

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

 

>x2

0

6

8

7

5

5

>x3

0

0

2

1

1

1

>x4

0

7

6

5

3

2

>x5

0

6

5

7

2

3

 

4

         

Рішення з ненульовим значенням. Перехід до другого етапу.

Повнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

 

>x2

0

6

8

7

5

 

>x3

0

0

2

1

1

 

>x4

0

7

6

5

3

 

>x5

0

6

5

7

2

 
             

Максимальнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

X

>x2

0

6

8

7

5

X

>x3

0

0

2

1

1

 

>x4

0

7

6

5

3

 

>x5

0

6

5

7

2

 
 

X

X

       

Мінімальна опора:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

6

>x2

0

6

8

7

5

7

>x3

0

0

2

1

1

1

>x4

0

7

6

5

3

2

>x5

0

6

5

7

2

3

 

4

5

       

>Перестановка нулів:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

6

>x2

0

6

8

7

5

7

>x3

0

0

2

1

1

1

>x4

0

7

6

5

3

2

>x5

0

6

5

7

2

3

 

4

5

       

Повнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

6

>x2

0

6

8

7

5

7

>x3

0

0

2

1

1

1

>x4

0

7

6

5

3

2

>x5

0

6

5

7

2

3

 

4

5

       

Максимальнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

X

>x2

0

6

8

7

5

 

>x3

0

0

2

1

1

X

>x4

0

7

6

5

3

X

>x5

0

6

5

7

2

 
 

X

X

X

     

Мінімальна опора:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

3

0

0

0

0

 

>x2

0

6

8

7

5

1

>x3

0

0

2

1

1

 

>x4

0

7

6

5

3

 

>x5

0

6

5

7

2

2

 

3

         

>Перестановка нулів:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

 

>x2

0

4

6

5

3

1

>x3

2

0

2

1

1

 

>x4

2

7

6

5

3

 

>x5

0

4

3

5

0

2

 

3

         

Повнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

 

>x2

0

4

6

5

3

 

>x3

2

0

2

1

1

 

>x4

2

7

6

5

3

 

>x5

0

4

3

5

0

 
             

Максимальнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

X

>x2

0

4

6

5

3

X

>x3

2

0

2

1

1

X

>x4

2

7

6

5

3

 

>x5

0

4

3

5

0

X

 

X

X

X

 

X

 

Мінімальна опора:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

 

>x2

0

4

6

5

3

 

>x3

2

0

2

1

1

 

>x4

2

7

6

5

3

1

>x5

0

4

3

5

0

 
             

>Перестановка нулів:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

 

>x2

0

4

6

5

3

 

>x3

2

0

2

1

1

 

>x4

0

5

4

3

1

1

>x5

0

4

3

5

0

 
             

Повнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

 

>x2

0

4

6

5

3

 

>x3

2

0

2

1

1

 

>x4

0

5

4

3

1

1

>x5

0

4

3

5

0

 
             

Максимальнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

X

>x2

0

4

6

5

3

X

>x3

2

0

2

1

1

X

>x4

0

5

4

3

1

 

>x5

0

4

3

5

0

X

 

X

X

X

 

X

 

Мінімальна опора:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

5

0

0

0

0

 

>x2

0

4

6

5

3

3

>x3

2

0

2

1

1

 

>x4

0

5

4

3

1

1

>x5

0

4

3

5

0

 
 

2

         

>Перестановка нулів:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

6

0

0

0

0

 

>x2

0

3

5

4

2

3

>x3

3

0

2

1

1

 

>x4

0

4

3

2

0

1

>x5

1

4

3

5

0

 
 

2

         

Повнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

6

0

0

0

0

 

>x2

0

3

5

4

2

3

>x3

3

0

2

1

1

 

>x4

0

4

3

2

0

1

>x5

1

4

3

5

0

 
 

2

         

Максимальнепаросочетание:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

6

0

0

0

0

X

>x2

0

3

5

4

2

X

>x3

3

0

2

1

1

X

>x4

0

4

3

2

0

 

>x5

1

4

3

5

0

X

 

X

X

X

 

X

 

Мінімальна опора:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

6

0

0

0

0

 

>x2

0

3

5

4

2

4

>x3

3

0

2

1

1

 

>x4

0

4

3

2

0

1

>x5

1

4

3

5

0

5

 

2

     

3

 

Через війну маємо:

 

>y1

>y2

>y3

>y4

>y5

 

>x1

6

0

0

0

0

 

>x2

0

1

3

2

2

4

>x3

3

0

2

1

1

 

>x4

0

2

1

0

0

1

>x5

1

4

3

5

0

5

 

2

     

3

 

Вихідний граф

Отриманий граф:

Вага знайденого досконалогопаросочетания = 12.

Завдання 11 Вирішити завдання 10, використовуючи алгоритм гілок і національних кордонів (ототожнивши вершиниxi іyj).

Таблиця Є (вихідна). Рядки -xi , стовпчики -yj. =0

 

1

2

3

4

5

 

1

2

01

03

02

02

 

2

06

7

9

8

6

 

3

01

1

3

2

2

 

4

04

8

7

6

4

 

5

03

7

6

8

3

 
             

>Дробим по переходуx2 -y1:

ТаблицяЕ21 =0+8=8

 

2

3

4

5

 

1

00

02

01

00

 

3

01

2

1

1

1

4

4

3

2

02

4

5

4

3

5

03

3

           

Таблиця 21 =0+6=6

 

1

2

3

4

5

 

1

2

01

03

02

00

 

2

>

1

3

2

01

6

3

01

1

3

2

2

 

4

04

8

7

6

4

 

5

03

7

6

8

3

 
             

Продовжуємо по 21:

>Дробим по переходуx4 -y1:

Таблиця21Е41 =6+4=10

 

2

3

4

5

 

1

00

02

01

00

 

2

1

3

2

01

 

3

01

2

1

1

1

5

4

3

5

03

3

           

Таблиця 2141 =6+4=10

 

1

2

3

4

5

 

1

2

01

03

02

00

 

2

>

1

3

2

01

 

3

01

1

3

2

2

 

4

>

4

3

2

02

4

5

03

7

6

8

3

 
             

Продовжуємо поЕ21:

>Дробим по переходуx5 -y5:

ТаблицяЕ21Е55 =8+2=10

 

2

3

4

 

1

00

01

00

 

3

01

2

1

 

4

2

1

01

2

         

ТаблицяЕ2155 =8+3=11

 

2

3

4

5

 

1

00

02

01

00

 

3

01

2

1

1

 

4

4

3

2

02

 

5

1

01

2

>

3

           

Продовжуємо поЕ21Е55:

>Дробим по переходуx3 -y2:

ТаблицяЕ21Е55Е32 =10+0=10

 

3

4

 

1

01

00

 

4

1

01

 
       

Далі рішення очевидно:x1 -y3 іx4 -y4. Не збільшить оцінку.

У результаті маємо досконалепаросочетание з із вагою:

>Прадереворазбиений:

Література

1.Грешилов А.А. Як прийняти найкраще рішення, у реальнихусловиях:-М.:Радио і зв'язок,1991.-320с.:ил.

2.Беллман Р. Динамічний програмування: Пер. зангл./Под ред. М.М.Воробьева.-М.: Іл, 1960.-400 з.

3.Беллман Р., Дрейфус З.Прикладние завдання динамічного програмування: Пер зангл./Под ред. А.А.Первозванского.-М.: Наука, 1965.-458 з.

4.ВентцельЕ.С. Дослідженняопераций.-М.: Рад. радіо, 1972.-551 з.

5. Вільямс М.М.Параметрическое програмування економіки (методи оптимальнихрешений):-М.:Статистика,1976.-96с.

6. Гольштейн О.Г., ЮдінД.Б. Нові напрями у лінійномупрограммировании:-М.: Рад радіо, 1966.- 524 з.

7.ЗангвиллУ.И.Нелинейное програмування: Пер. зангл./Под ред. О.Г.Гольштейна.-М.: Рад радіо, 1973.- 312 з.

8.Зуховицкий С.І., АвдєєваЛ.И.Линейное і опукле програмування (довідковеруководство).-М.: Наука, 1964.-348 з.

9. Дослідження операцій. Методологічні основи та математичні методи: Пер. з анг./ Під ред. І.М. Макарова, І.М.Бескровного.-М.: Світ, 1981.-Т.1.-712 з.

10. Дослідження операцій. Моделі й застосування їх: Пер. з анг./ Під ред. І.М. Макарова, І.М.Бескровного.-М.: Світ, 1981.-Т.1.-712 з.

11. Лазарєв В. Г., Лазарєв Ю.В. Динамічний управління потоками інформацією мережахсвязи.-М.: Радіо і зв'язок, 1983.- 216 з.

12. Мартін Дж. Системний аналіз передачі.: Пер з анг./ Під ред. В.С.Лапина.-М.: Світ, 1975.-М.2.- 431 з.

13.Монаков В.М., БєляєваЭ.С.,Краснер Н.Я. Методи оптимізації. Посібник дляучителя.-М.: Просвітництво, 1978.-175с.

14.Муртаф Б. Сучасне лінійне програмування: Теорія і практика. Пер. зангл./Под ред. І.А.Станевичуса.- М.: Світ, 1984.- 224 з.

15.Рокафеллор Р.Випуклий аналіз: Пер. зангл./Под ред. А.Д. Йоффе, В.М.Тихомирова.-М.: Світ, 1973.- 469 з.

16. Сухарєв О.Г.,Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методів оптимізації.- М.:- Наука,Физматгиз, 1986.- 326 з.

17. Ху Т.Целочисленное програмування і потоки у мережах: Пер. зангл./Под ред. А.А. Фрідмана.- М.: Світ, 1974.-419 з.

18.Фиакко А.,Мак-Кормик Р.Нелинейное програмування. Методи послідовної безумовною мінімізації: Пер. зангл./Под ред. О.Г.Гольштейна. -М.:- Світ, 1972.- 240 з.

19. Філліпс Д.,Гарсиа-Диас А. Методи аналізу мереж: Пер. з анг./ Під ред.Б.Г.Сушкова.- М.: Світ, 1984.- 496 з.

20. ЮдінД.Б., Гольштейн О.Г.Линейное програмування. Теорія і кінцеві методи,- М.:-Физматгиз, 1963.- 775 з.



Схожі реферати:

Навігація