Реферати українською » Математика » Диференціальні рівняння гіперболічного типу


Реферат Диференціальні рівняння гіперболічного типу

Курсова робота студента грн.МТ-31Нургалиев А.

Інноваційний євразійський університет

>Павлодар 2007 рік.

1. Запровадження.

Багато завдання математичної фізиці призводять до диференційним рівнянням із приватними похідними. У даний курсової роботі розглянуті одні з основних рівнянь гіперболічного типу: 4-го і найчастіше зустрічається 2-го порядку.

Розглянуто найпростіше рівняння гіперболічного типу – хвилеве рівняння. До дослідженню цього рівняння наводять розгляд процесів поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стрижня, електричних коливань в дроті, крутильних коливань валу, коливань газу та т. буд.Приведена формулаДаламбера на вирішення крайових завдань, і навіть її фізична інтерпретація.

Велика кількість завдань про коливаннях стрижнів, пластин тощо. призводить до рівнянням вищого порядку. Як приклад на рівняння 4-го порядку розглянута завдання свої коливаннях камертона.

2. Метод поширених хвиль.

2.1. Висновок рівняння коливань струни.

У математичної фізиці під струною розуміють гнучку, пружну нитку.Напряжения, що у струні будь-якої миті часу спрямовані дотично до її профілю. Нехай струна довжини l в початковий момент спрямована по відтинку осі0x від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точкахx=0 іx=l. Якщоструну відхилити від неї початкового становища, і потім надати сама собі чи, не відхиляючи струни, надати в початковий час точкам деяку швидкість, чи відхилитиструну і додати її точкам деяку швидкість, то точки струни здійснюватимуть руху – кажуть, струна почне коливатися. Завдання залежить від визначенні форми струни будь-якої миті часу й визначенні закони руху кожної точки струни залежно від часу.

Будемо розглядати малі відхилення точок струни від початкового становища. Через це можна припустити, що рух точок струни відбувається перпендикулярно осі0x й у площині. У цьому припущенні процес коливання струни описується однієї функцієюu(x,t) що дає величину переміщення точки струни забсциссой x в останній моментt.

Оскільки ми розглядаємо малі відхилення точок струни у площині (>x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струниM1M2 дорівнює її проекції на вісь0x, тобто.M1M2=x2-x1. Також будемо припускати, що натяг переважають у всіх точках струни однакове; позначимо його через T.

Розглянемо елемент струниMM’.

На кінцях цього елемента, по дотичним до струні, діють сили T. Нехайкасательние утворюють віссю0x кути і . Тоді проекція на вісь0u сил, діючих на елементMM’, дорівнюватиме . Оскільки кут малий, можна покласти , і ми не матимемо:

(тут застосували теоремуЛагранжа для вираження, який стоїть у квадратних дужках).

Щоб самому отримати рівняння руху, потрібно зовнішні сили, докладені до елементу, прирівняти силі інерції. Нехай маса елемента струни буде . Прискорення елемента одно . Отже, за принципомДаламбера матимемо:

>Сокращая на і позначаючи , отримуємо рівняння руху

 (1)

Це і хвилеве рівняння – рівняння коливання струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо.Искомая функціяu(x,t) має відповідати ще граничним умови, що вказує, що робиться кінцях струни (>x=0 іx=l), і початкових умов, що описує стан струни в початковий момент (>t=0). Сукупність граничних і початкових умов називається крайовими умовами:

2.2. ФормулаДаламбера.

Вивчення методів побудови рішень крайових завдань для рівнянь гіперболічного типу розпочнемо з завдання з початковими умовами для необмеженої струни:

 (2)

 (3)

>Преобразуем це рівняння до канонічного виду, який містить змішану похідну.Уравнение характеристик

розпадається на два рівняння:

, ,

інтегралами яких є прямі

, .

Вводячи нові перемінні

, ,

рівняння коливання струни перетворимо до виду:

. (4)

Знайдемо загальний інтеграл останнього рівняння. Вочевидь, будь-кого рішення рівняння (4)

,

де - деяка функція лише змінного . Інтегруючи це рівність по при фіксованому , одержимо

, (5)

що й є функціями лише змінних і .Назад, які були двічідифференцируемие функції і , функція , обумовлена формулою (5), є рішення рівняння (4). Оскільки всяке рішення рівняння (>4)может бути представлено як (5) за відповідного виборі і , то формула (5) є спільною інтегралом цього рівняння. Отже, функція

 (6)

є спільною інтегралом рівняння (2).

Припустимо, що ухвалено рішення аналізованої завдання існує; тоді він дається формулою (6).Определим функції отже, щоб задовольнялися початкові умови:

 (7)

. (8)

Інтегруючи друге рівність, одержимо:

що й З – постійні. З рівності

знаходимо:

 (9)

Отже, ми визначили функції і крізь задані функції і , причому рівності (9) повинен мати місце нічого для будь-якого значення аргументу. Підставляючи в (6) знайдені значення й , одержимо:

чи

, (10)

Формулу (10), звану формулоюДаламбера, ми маємо, припускаючи існування рішення поставленого завдання. Ця формула доводить одиничність рішення. У насправді, коли існувало друге вирішення завдання (2) – (3), воно уявлялося б формулою (10) і збігалося б із першим рішенням.

Неважко перевірити, що формула (10) задовольняє (в припущенні дворазовоюдифференцируемости функції і однократноїдифференцируемости функції ) рівнянню і початкових умов. Отже, викладений метод доводить як одиничність, і існування рішення поставленого завдання.

>2.2.2.Физический інтерпретація.

Функція , обумовлена формулою (10), є процес поширення початкового відхилення і початковій швидкості. Якщо фіксувати , то функція дає профіль струни в останній момент , фіксуючи , одержимо функцію , що дає процес руху точки . Припустимо, що спостерігач, котрий у точціx=0 в останній моментt=0, рухається зі швидкістю a в позитивному напрямі.Введем систему координат, пов'язану з спостерігачем, вважаючи , . У цьому рухомий системі координат функція буде визначаться формулою і спостерігач увесь час бачити хоча б профіль, що у початковий момент. Отже, функція представляє незмінний профільf(x), переміщується вправо (в позитивному напрямі осі x) зі швидкістю a (>распространяющуюся чи біжучий хвилю). Функціяf(x+at) представляє, очевидно, хвилю,распространяющуюся наліво (в негативному напрямі осі x) зі швидкістю a. Отже, рішення (10) завдання Коші для безкінечною струни є суперпозиція двох хвиль , одній із яких поширюється направо зі швидкістю a, а друга – наліво з тією ж швидкістю. У цьому

,

де .

Для з'ясування характеру рішення (10) зручно користуватися площиною станів (>x,t) чи «фазової площиною». Пряміx-at=const іx+at=const є характеристиками рівняння (2). Функція вздовж характеристикиx-at=const зберігає постійне значення, функція постійна вздовж характеристикиx+at=const.

Припустимо, щоf(x) відрізняється від нуля лише у інтервалі і дорівнює нулю поза цього інтервалу. Проведемо характеристики і крізь крапки й ; вони розбиваютьполуплоскость (>x,t>0) втричі області I, II, і III (рис. 3, а).

Функція відрізняється від нуля лише у сфері II, що й характеристики і представляють передній і задній фронти що розпросторюється направо хвилі.

Розглянемо тепер деяку фіксовану і наведемо з її обидві характеристики і , які перетнуть вісь x в точках ,t=0 і ,t=0. Значення функції у точці одно , т. е. визначається значеннями функцій й у точках і , є вершинами трикутникаMPQ (рис. 3, б), освіченого двома характеристиками і віссю x. Цей трикутник називається характеристичним трикутником точки . З формули (10) видно, що відхилення точки струни в останній момент залежить від значень початкового відхилення в вершинахP(x0-at0,0) іQ(x0+at0,0) характеристичного трикутникаMPQ і південь від значень початковій швидкості заPQ. Це особливо ясним, якщо формулу (10) записати як

 (11)

Початкові дані, задані позаPQ, не впливають на значення точці . Якщо початкові умови задано не так на всієї безкінечною прямий, але в відрізку , всі вони однозначно визначають рішення всередині характеристичного трикутника, підставою якого є відрізок .

2.2.3. Приклад.

Рішення (10) можна як суми , де

 (12)

. (13)

Якщо початкова швидкість дорівнює нулю (), то відхилення є сума лівої і правої котрі біжать хвиль, причому початкова форма обох хвиль визначається функцією , рівної половині початкового відхилення. Якщо ж , то представляє обурення струни, створюване початковій швидкістю.

Розглянемо поширення початкового відхилення, заданого як рівнобедреного трикутника. Такий початковий профіль можна отримати роботу, якщо відтягнутиструну у середині відрізка . На рис. 4 дано послідовні становища струни через часові відтинки .

Наочне уявлення про характер процесу поширення можна з допомогою фазової площині (x,t). Проведемо характеристики через крапки й ; вони розіб'ютьполуплоскость на шість областей (рис. 5).

Відхилення у будь-якій точці (>x,t) дається формулою (12). Тож у областях I, III, V відхилення одно нулю, оскільки характеристична трикутник будь-який точки з цих галузей немає загальних точок з відрізком , у якому задано початкові умови. У сфері II рішенням є «права хвиля» , у сфері IV – «ліва хвиля» , а області VI рішення є сума «лівої» і «правої» хвиль.

3. Про коливанні стрижнів.

У курсах методів математичної фізики основне місце відводиться рівнянням другого порядку. Проте велика кількість завдань про коливаннях стрижнів, пластин тощо. призводить до рівнянням вищого порядку.

Як приклад на рівняння 4-го порядку розглянемо завдання свої коливаннях камертона, еквівалентну завданню про коливаннях тонкого прямокутного стрижня, затиснутого одним кінцем в масивні лещата. Визначення форми коливань камертона та її частоти зводиться до вирішення «рівняння поперечних коливань стрижня»

 (1)

До цього рівнянню приходять у багатьох завданнях про коливанні стрижнів, при розрахунку стійкості обертових валів, і навіть щодо вібрації кораблів.

Наведемо елементарний висновок рівняння (1). Розглянемопрямоуголний стрижень довжиною , заввишки h і завширшки b. Виділимо елемент довжиниdx. Після вигинуторцевие перерізу виділеного елемента стрижня, гадані пласкими, утворюють кут , Якщо деформації малі, а довжина осі стрижня на вигині не змінюється (>dl=dx), то

.

Шар матеріалу, віддалений від осі стрижняy=0 з відривом , змінює свою довжину на величину . За законом Гука сила натягу, діюча вздовж шару, дорівнює

,

де E – модуль пружності матеріалу стрижня. Повнийизгибающий момент сил, діючих на перетин x, дорівнює

, (2)

де

- момент інерції прямокутного перерізу щодо своєї горизонтальній осі. Означимо черезM(x) момент, діючих праву частина стрижня у кожномусечении. Усеченииx+dx, очевидно, діє момент сил, рівний –(>M+dM).

Зайва момент –>dM врівноважується моментомтангенциальних сил

.

Звідси силу рівності (2) отримуємо величинутангенциальной сили

. (3)

Прирівнявши діючу на елемент результуючу силу

твору маси елемента в напрямі прискорення

,

де - щільність стрижня, P.S – площа поперечного перерізу (цьому ми нехтуємо обертальним рухом на вигині), отримуємо рівняння поперечних коливань стрижня

 (). (1)

>Граничними умовами длязаделанного кінцяx=0 є нерухомість стрижня і горизонтальність дотичній

, . (4)

На вільному кінці повинні рівнятися нулюизгибающий момент (2) ітангенциальная сила (3), звідки слід, що

, . (5)

Щоб повністю визначити руху стрижня, потрібно ще поставити початкові умови – початкова відхилення і початкову швидкість

,  (). (6)

Отже, завдання зводиться до вирішення рівняння (1) з граничними умовами (4), (5) і з початковими умовами (6).

Будемо вирішувати проблему методом поділу змінних, вважаючи

>y=Y(x)T(t). (7)

Підставляючи запропоновану форму рішення на (1), маємо:

.

Для функціїY(x) отримуємо завдання свої значеннях

, (8)

, , , . (9)

Загальне рішення рівняння (8) представляється як

.

З умовY(0)=0,Y’(0)=0 знаходимоC=-A,D=-B. Звідси випливає, що

.

УмовиY’’(l)=0 іY’’’(l)=0 дають:

Ця однорідна система має нетривіальні рішення A і B, якщо визначник системи нульовий.Приравнивая цей визначник нулю, отримуємо трансцендентне рівняння для обчислення власних значень

.

Оскільки , це рівняння можна записати в ідеї

 (). (10)

Коріння рівняння (10) легко обчислюються, наприклад, графічно

Остання формула дає значення з точністю близько трьох десяткових знаків, починаючи зn=3, і з точністю до шостого знака для .

Розглянемо тепер частоти коливань камертона.Уравнению

>Удовлетворяюттригонометрические функції

із частотою

,

Частоти власних коливань ставляться як квадрати . Оскільки

,

Те другий власний тон вище основного тону понад дві з першою половиною октави, тобто. вище шостий гармоніки струни при рівному основному тоні, третє ж власне коливання вище основного тону понад чотири октави. Наприклад, якщо камертон має основну частоту в 440 коливань в секунду (ухвалений стандарт a’ – ноти ля першої октави), то наступна власна частота камертона буде 2757,5 коливання в секунду (між з’’’’ =2637,3 іf’’’’=2794,0 – між нотами ми і фа четвертої октавиравномерно-темперированной гами), третя ж власна частота в 7721,1 коливання в секунду вже виходить поза межі шкали власне музичних звуків.

При порушенні коливань камертона ударом присутній як перша, а й вищі гармоніки, що навіть пояснюється металевий звук в початковий момент. Однак із плином часу вищі гармоніки швидко загасають і камертон видає чистий звук основного тону.

4. Укладання.

>Дифференциальние рівняння із приватними похідними широко застосовують у математичної фізиці. Як приклад у цій роботі розглянуті два рівняння.

>Волновое рівняння з крайовими умовами можна зводити до рішенню формулиДаламбера,задающуюся початковими умовами. І з допомогою фазової площині можна відстежити характер його рішення.

У процесі рішення «рівняння поперечних коливань стрижня» отримуємо завдання свої значеннях і завдання про перебування частот власних коливань. Причому частоти власних коливань ставляться як квадрати власних значень.

Список літератури

А. М. Тихонов, А. А. Самарський «Рівняння математичної фізики», Москва, 1966 р.

М. З. Піскунов «>Дифференциальное і інтегральне літочислення», Москва, 1970 р.

М. З.Кошляков, Еге. Б.Глинер, М. М. Смирнов «Рівняння в чесних похідних математичної фізики», Москва, 1970 р.


Схожі реферати:

Навігація