Реферат Числа в просторі

Страница 1 из 4 | Следующая страница

ПавлоПолуян

Від автора:

На недавньої міжнародної математичної конференції ">Многомерний комплексний аналіз" (InternationalConference ">MultidimensionalComplexAnalysis",Krasnoyarsk, Russia,August 5-10, 2002) я представиввнепрограммний доповідь "Чи єгипердействительние вересняквантово-релятивистской всесвіту?" Доповідь був присвячений великої темі "Нестандартний аналіз некласичного руху", першому плані висувалися математичні і методологічні аспекти цієї проблеми, пов'язані з обгрунтуванням нестандартній моделі аналізуА.Робинсона і підвищення поля дійсних чисел.

Запропонована тут робота адресована насамперед фізикам, - математичні аспекти винесені за дужки, а фізичне зміст конкретизовано. Автор рекомендуєзаинтересовавшимся читачам звернутися до електронних версіям "Нестандартний аналіз некласичного руху. Чи єгипердействительние вересняквантово-релятивистской всесвіту?", "Час іхронометрика.Ареальние безлічі", представлені російською й англійською мовами мовами з Інтернету (на сервері Красноярського державного університетуres.krasu/non-standard, і навіть наsciteclibrary/catalog/pages.3556.html,sciteclibrary/eng/catalog/pages/3773.html)

Завдяки нагоді, автор дякує математиків і фізиків, які висловили у розмовах і з e-mail свої критичні і конструктивні коментар до поставленої проблемі.

I. Перетворення4-мерного простору-часу вквартернионное час-простір.

Одне з наукових текстів Вольфганга Паулі починається примітною фразою: ">Введем, звісно ж, речові координатиXk для простору й мниму координатуX4 =iCt на час, і розглянемо перетворенняЛоренца..." (В.Паулі. Праці з квантової теорії. М.: "Наука", 1977, у статті "До математичної теорії матриць Дірака", п.5 "ПеретворенняЛоренца хвильових функцій Дірака", з. 233.). Словесний оборот "звісно ж" можна розцінити як дотепної інтелектуальної провокації,подразумевающей, що зазначену процедуру можна зробити і "незвичним" шляхом. Як? Неважко сказати: спробуємо на час залишити речовинну координату, а 3 просторові координати уявімо як удавані. Тоді4-мернийпсевдоевклидовий континуумМинковского перетвориться на якесь незвичне розмаїття, яку ми далі називатимемо ">квартернионное час-простір".

Поява тут терміна ">квартернион" зрозуміло: четвірку чисел, виражають координати, - одне речовинне і трьох мнимих - легко явити у роліквартерниона. Протеквартерниони - це алгебраїчні числа, а 4-х мірне простір-час - це континуум. Якщо, це вони мають чи достатні підстави у тому, щоб ставити в відповідність? До цього питання ми повернемося трохи згодом, а поки розцінюватимемоквартернионное час-простір як певну суто логічний конструкцію, - таку можна розгледіти загалом і проаналізувати у дрібницях. Принагідно зауважимо, що у сучасної науці термін "простір" не пов'язується однозначно тільки з мірою відстані, і ніщо корисно нам скласти4-мерноепсевдоевклидово простір індексу 3, де на кількох вісях відкладається міра в розмірності [>t]. Але оскільки час - це фізичний параметр, який відбиває найважливіший аспект реальності, то нашій цій статті цікавитиме насамперед неформально-математические властивості отриманої конструкції, та її фізична інтерпретація.

Те, що алгебраквартернионовнекоммутативна - відразу ж потрапити викликає думку: отриманий в такий спосіб абстрактний об'єкт причетний безпосередньо доквантово-механическим особливостям фізичного світу. Але ми не станемо забігати наперед, розглядатимемоквартернионное час-простір в такий спосіб, коли б ми нічого було невідомо про існування квантової механіки. Інакше кажучи, постараємося поки зберегти недоторканним класичні ставлення до перебігу часу й протяжності простору.

Отже, маємо собі4-мерное розмаїття, де речовинна вісь - чисте час, а через три інші - це просторові координати, перетворені на удавані тимчасові осі. При побудові4-мерногопсевдоевклидового континуумуМинковского чотири координати були виражені лише у мері [x], що досягалося з допомогою множення тимчасової координати на коефіцієнт З - швидкість світла [м/с]. Тож у нашомуквартернионномвремя-пространствеодноразмерность виходить аналогічним шляхом: удавані просторові координати мали бути зацікавленими помножені на якийсь коефіцієнт P.S зразмерностью [>с/м]. Можна було сказати, що це "зворотна швидкість світла", але ці негаразд. Зворотний швидкість світла1/C, як реальна фізична величина може бути потрібним коефіцієнтом, оскільки шкала зворотних швидкостей нерівномірна. У класичному поданні швидкість - цей показник, де у чисельнику відрізок відстані, а знаменнику період - часу, як незалежної перемінної. Тоді для "зворотної швидкості", де чисельник і знаменник змінюються місцями, разом із зверненням розмірності і його нерівномірна шкала величин:1[м/с]=1[с/м],2[м/с]=1/2[с/м],3[м/с]=1/3[с/м],4[м/с]=1/4[м/с] тощо. Складається враження, що у на цій причиніквартернионное час-простір може бути аналогом4-мерного континууму. Проте вихід із безвиході легко знайти, окрім коефіцієнт P.S "зворотної швидкістю" – це якийсь коефіцієнт зразмерностью [>с/м].

Тут нікуди ми від математики повинні звернутися до фізики. Якщо коефіцієнт З впсевдоевклидовом континууміМинковского - це цілком конкретна фізична величина, швидкість світла, має у різних системах відліку конкретне чисельна значення, то нашомуквартернионномвремя-пространстве коефіцієнт P.S також має бути іншим як певної фізичної величиною - константою, відмінній в суті своїй від швидкості світла, але має розмірність [>с/м] - зворотний розмірності швидкості. На роль такий константи можна висунути комбінацію константh/e2, де h - стала Планка, а e - заряд електрона. Відомо, що ця комбінація констант поруч із З входить у вираз безрозмірною постійної тонкої структури1/a =C/e2 = 137,0306... (тут – стала Планка, поділена на два ">p" –h/2p). Гадаю, що так це і є:квартернионное час-простір - це математичне вираз реального аспектимикрофизической реальності, де константаS=h/e2 зразмерностью [>с/м] настільки ж важлива, як важлива швидкість світла для глобального4-мерного континуумуМинковского.

Прийнявши цю трактування, ми цим перекидаємо логічний місток між квантової і релятивістської фізикою, виявляючи - поки що тількиформально-математически - глибоку зв'язок між глобальної просторово-часової картиною світу імикрофизической квантової реальністю. Отже, логічний сенс безрозмірною постійної тонкої структури виявляється у тому, що вона показує відповідність між континуумомМинковского іквартернионнимвремя-пространством. Гадаю, що Вольфганг Паулі, який наполягав на теоретичному обгрунтуванні фізичного статусу цього загадкового числа 137,0306..., мав на оці щось схоже.

Проте формальних аргументів не досить. Ми повинні розкрити і фізичну суть виявленого відповідності, тобто зв'язок міжграничной швидкістю прямолінійного поступального руху З і константою P.S, смисл якої доки зрозумілий.S=h/e2 - це комбінація емпіричних констант зразмерностью [>с/м], ми включили їх у якусь математичну структуру, але від послуг цього вона має сенс стане ясніше.

У класичній фізиці швидкість є кількісної мірою поступального руху, пов'язує між собою просторові і тимчасові параметри руху як прямолінійного поступального переміщення. Якщо константа P.S включається нами вквартернионное час-простір, вона також має розумітись як вираз якогось аспекти руху, де просторові і тимчасові характеристики якось пов'язані між собою. Понад те, найважливішим властивістю континуумуМинковского є перетворенняЛоренца, що призводять до того що, що довгоочікуваний Закон складання швидкостей під час переходу від однієї системи відліку в іншу дає граничне значення для прямолінійного поступального переміщення. Логічно припустити, що уквартернионномвремя-пространстве також виявиться аналог перетвореньЛоренца, що дозволить трактувати константу P.S як інваріанту і краю в додаванні якихось величин. Так, по крайнього заходу, має бути залежить від двовимірному разі, де на кількох комплексної площиніпсевдоевклидовим чином зв'язуються одна тимчасова і жодна просторова осі. Для континуумуМинковского мнимої буде тимчасова вісь -iCt, аквартернионноговремя-пространства - простороваiSx. У двовимірному випадку - справа полегшується тим, що ми залишаємо за рамками розглядунекоммутативность (з іншого боку, можна знайти, щонекоммутативность зв'язана прямо з наявністю ще двох мнимих просторових координат).

Оскільки швидкість світла З - це некласична обмеження на максимальну швидкість (швидкість поширення сигналу на відстань може бути безкінечною), відповідно, константа P.S теж дозволяє відношеннюt/x приймати нескінченні значення. Проте P.S - це межа для "зворотної швидкості", а збільшенняt/x одночасно означає зменшення відносиниx/t, що дозволяє припустити: "нульова швидкість" так само недосяжна, як і нескінченна.

Проте, у разі спрощеногодвумерного, комплексного уявленняквартернионноговремя-пространства, все-таки, поки що залишається незрозумілим: що з величини повинні тут складатися, і який у разі фізичний сенс "системи відліку"? На опікується цими питаннями нам тут і доведеться відповісти.

Оскільки P.S - це своєрідний коефіцієнт пропорційності між мірою часуt[с] і мірою відстаніx[м], то константа P.S як параметр висловлює якийсь аспект руху, але, бо поступального прямолінійного переміщення кількісної мірою є класичне поняття швидкостіV[м/с] і його некласичний межа З, це нове константа P.S мусить бути некласичним межею якийсь цілком класичної заходи руху, яка тим щонайменше перестав бути поступальним переміщенням. Ми припустимо, що шуканої формою руху є обертання. *

* Є ймикрофизические передумови, у тому, щоб пов'язати зазначену величину саме з обертанням. Приміром, у фізиці елементарних частинок експериментально визначено існування произотопических перетворень, що цілком аналогічні звичайнимвращениям. ВернерГейзенберг, перераховуючи основні групи симетрії, поруч із групоюЛоренца поміщає особливу групу - це "група, досліджена Паулі іГюши, що відповідає за своєю структурою групі тривимірних просторових обертань - вона їй ізоморфна, - і поводиться у появі квантового числа, яке емпірично було відкрито у елементарних частинок й отримало назву ">изоспин". ("Квантова теорія й будову матерії", в кн.В.Гейзенберг, "Та фізика і філософія. Частина і ціле.", М.: "Наука", 1990, з. 103.) У цьому, співвідношення, що зизотопической інваріантості дотримуються з точністю до поправок, розмір яких визначається константоюe2/C. У навчальної літературі відзначається, що ">изотопическаяинвариантность означає особливу симетрію сильних взаємодій, не пов'язану зі спільними властивостями простору й часу. Хочаизотопическаяинвариантность досить добре встановлено експериментально, пов'язані з ним властивості симетрії логічно не випливають із існуючої теорії та природа цих властивостей симетрії доки вияснена". (">Изотопический спін", в кн. "Фізичний енциклопедичний словник", М., 1962, т. 2, з. 143.)

II.Вращение ніж формою руху,нередуцируемая до прямолінійному.

Отже, нам здається, що специфічної формою руху, що уквартернионномвремя-пространстве поводитиметься аналогічно звичайній поступальної швидкості, є обертання. У принципі так, інших варіантів ми просто немає, адже ми досліджуємо рух як певна ставлення між тимчасовим і просторовим вимірами, яких відносин можуть бути лише 2:x/t іt/x. Отже, ми ставимо двояку завдання: показати, що обертання - це фундаментальна форма руху, рівноправна прямолінійною поступальним, І що кількісної мірою його [>с/м].

У математиці ПОВОРОТ у просторі так само фундаментальна операція як паралельний перенесення. Доречно тут згадати Анрі Пуанкаре, який на наявність "прихованої аксіоми", що замаскована серед аксіом Евкліда як постулату про промальовуванню окружності циркулем. (А.Пуанкаре, "Про науку", М.: "Наука", 1983.) Те, щоповорачиваемаяполупрямая рано чи пізно збігається з своїм продовженням логічно не пов'язані з аксіомами про статичних точках й немає прямих, Анрі Пуанкаре показує, що усунення цієї "аксіоми" може спричинить екзотичним теоріям.

Проте, реальний світ влаштований тож іевклидови інеевклидови геометрії спираються цей "емпіричний факт", який, як відомо, виявляється у конкретному ірраціональному числіp. (Кажучи образно, числоp є своєрідним феноменологічної квантової константою, яка "чомусь" виникає у геометрії - в доти чисто теоретичному конструктивному побудові.)

У той самий час у класичної механіці обертання - це щось вторинне стосовно прямолінійному поступальному руху, тобто обертання (рух щодо замкнутої траєкторії) редукується до нескінченно малим прямолінійним переміщенням, тому швидкість обертання традиційно вимірюється у тій самої мері [м/с], яка виражається і кількість оборотів за секунду. У цьому ЧАС аксіоматично береться як незалежної перемінної, хід часу у повній згоді зньютоновским визначенням - рівномірно і неминуче кує секунди (в заданої системі відліку).

Так обертання стандартним чином трактується як щось, що легко можна зводити до загальним поняттям про прямолінійному переміщенні, причому редукція виглядає природно, і логічно несуперечливо. Цього було теоретичних і практичних потреб, проте розвиток некласичної фізики поставило нове завдання: коли ми в квантової механіці використовуємофеноменологически запроваджені параметри, такі як спін, цілком логічно було б знайти їм підстави у вихідних принципах класичної науки.

Такі підстави є.

Розглянемо сенс понятійного розрізнення інерціальних інеинерциальних систем. Зрозуміло, що обертова система -неинерциальна, відповідно, був би безглуздим визначення параметрів що просуваласяинерциальной системи з відношення до обертовою. Тому ми будуємо шкалу відносних поступальних швидкостей, розглядаючи безліч виключно інерціальних систем. З іншого боку, обертання традиційно розуміють як щось, що визначно лише до яка покоїться системі, тобто доинерциальной. Інакше кажучи:инерциальная система НЕВРАЩАЕТСЯ, оскільки як б очевидно, щоВРАЩАЮЩУЮСЯ систему слід визначати стосовно ній. Але коли ми чинимо ТАК, то немає нічого надзвичайного, у результаті математичних викладок ми маємо вже заздалегідь закладений передумови висновок: обертання редукується до нескінченно малим прямолінійним переміщенням. Відштовхуючись від розуміння не обертовою системи, можна вивести багато цікавого, але тільки поняття обертання.

Давайте, уточнимо - який хід думок, що призводить до стандартним висновків. Розглядається безліч обертових систем ("коліс"), осі яких вмостилися вздовж одній прямій. Припустимо, що у одиницю часу вони роблять якесь кратну число оборотів, а розташуємо так, що з двох сусідніх "коліс" число оборотів відрізняється на одиницю. Тоді можна взяти одна з "коліс" за нерухому систему відліку, - у обидва боки від цього розподіляться які працюють системи, напрями обертань які мають протилежні, а перехід від «колеса» до «колесу» до кожної зі сторін буде спричинить рівномірному зміни їх швидкості обертання щодо обраної яка покоїться системи відліку. Зрозуміло, також, що ролі системи відліку брати будь-який з «коліс» – відносини з-поміж них зберігаються.

Тут представлений весь поняттєвий набір, використовуваний визначення поступального (не обертального) руху: єдине час як не залежна змінна, швидкість точки в [м/с] (навкруг 1 оборот одиницю часу), довільний вибір системи відліку, необмежене зростання швидкостей щодо обраної.

>Рис. 1.

Ця методологія аналізу як така виглядала логічною, єдина непослідовність – це використанняинерциальной системи відліку визначеннянеинерциального руху. Адже мислячи послідовно, то відносність обертання мала б виводитися з порівняння виключно таких систем, які самі маютьВРАЩЕНИЕМ, , аналогічно як відносність поступальних прямолінійних швидкостей виводиться з порівняння інерціальних систем, - виявляється простоИЗМЕНЕНИЕМРАССТОЯНИЯ УЕДИНИЦУ ЧАСУ. Проте, класичний стандартний висновок не призводив би

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація