Реферати українською » Математика » Суворе тяжіння до нормального закону для стаціонарних послідовностей з рівномірно сильним перемішуванням


Реферат Суворе тяжіння до нормального закону для стаціонарних послідовностей з рівномірно сильним перемішуванням

С.А. Клоков, Омський державний університет, кафедра математичного аналізу

1. Запровадження. позначення. Постановка завдання

Нехай - стаціонарна (у вузькому значенні) послідовність випадкових величин (>с.в.), , - -алгебри, породжені сімействами , . Кажуть, що задовольняє умові рівномірно сильного перемішування (>РСП), якщо коефіцієнт перемішування

котиться до нуля при .

Як завжди, через позначимодисперсию суми , а ще через - нормальнус.в. із нульовим математичним очікуванням і одиничноїдисперсией. Символи і позначають відповідність з розподілу і рівність розподілівс.в., · - норму вL2,1(A) - індикатор безлічі A. Через позначимосрезку , через -дисперсию суми . Разом з послідовністю розглядатиметься послідовність такихс.в., як і незалежні. Що стосується, якщо функціїf і g пов'язані співвідношенням , деconst - абсолютна константа, писатимемо , і якщо й , то .

Вважатимемо відомими визначення правильно мінливих поволі мінливих функцій (див., наприклад, [5]).

Кажуть, що послідовністьс.в. притягається до нормальному закону, якщо деякому виборі внормовують константAn і має місце співвідношення , . Що стосується, якщос.в. мають кінцеві другі моменти, дисперсія суми та й кажуть, що послідовності застосовна центральна гранична теорема (>ЦПТ).

Перші граничні теореми для слабко залежних величин було доведено І.А.Ибрагимовим на початку 1960-х років. УмоваРСП дає можливість доводити результати про збіжності до нормальному закону без будь-яких припущень про швидкості перемішування (прагнення нанівець). І тут говоритимемо, що справедливе суворе тяжіння до нормальному закону. У [?] доведено

Теорему 1. Нехай - стаціонарна послідовністьс.в., яка задовольнить умовіРСП, , для деякого і . Тоді до послідовності застосовнаЦПТ.

Для послідовності незалежних однаково розподіленихс.в.ЦПТ справедлива, якщо зажадати існування лише других моментів. Виходячи з цього, в [1] висловлена

Гіпотеза (Ібрагімов, 1965).     

Нехай - стаціонарна послідовністьс.в., яка задовольнить умовіРСП, і . Тоді до послідовності застосовнаЦПТ.

Нехай - послідовність незалежних однаково розподіленихс.в., які мають других моментів. Тоді розподіл належить області тяжіння нормального закону тоді й тільки тоді, коли функція єММФ.Иосифеску висловлювався так припущення.

Гіпотеза (>Ибрагимов-Иосифеску).

Нехай - стаціонарна послідовністьс.в., яка задовольнить умовіРСП з , іH(x) -ММФ. Тоді притягається до нормальному закону.

Гіпотези Ібрагімова іИбрагимова-Иосифеску не доведені і спростовані досі.

Добре відомі два достатніх умови для повільного зміниH(x): існування кінцевого другого моменту () й правильне зміна хвоста розподілу одного доданка ( -ПМФ порядку -2). Діяльність [4] доведено

Теорему 2. Нехай - стаціонарна послідовністьс.в., яка задовольнить умовіРСП, причому . Нехай , виконано співвідношення

(1)

деh(x) -ММФ. Тоді притягається до нормальному закону.

У даний роботі показано, що теорема 2 залишається справедливою, якби функціюh(x) з (1) накласти більш слабке обмеження, ніж повільне зміна. У монографіїЕ.Сенети запропоновано узагальнення поняттяММФ. Функціяh(x) називаєтьсяSO-меняющейся [3], якщо є такі позитивні постійніC1 іC2, що з всіх виконано

(2)

Вочевидь, щоММФh(x) задовольняє (2), але з навпаки. ПрикладамиSO-меняющихся функцій можуть бути будь-які функції, віддалені від нуля і південь від нескінченності. Отже, запроваджене розширення класуММФ є нетривіальним.

Основним результатом роботи є підставою узагальнення теореми 2:

Теорему 3. Нехай - стаціонарна послідовністьс.в., яка задовольнить умовіРСП, і виконано співвідношення

(3)

деh(x) -SO-меняющаяся функція. Тоді притягається до нормальному закону.

Узагальнення результату M.Пелиграда став можливим завдяки уточненню докази теореми 2, даного у роботі [4].

2. Допоміжні результати

З (2) вочевидь слід

>Лемма 1. Нехайh(x) -SO-меняющаяся функція. Тоді нічого для будь-якого фіксованого для будь-який функції досить повільно.

>Определим послідовність співвідношенням .

>Лемма 2. Нехай виконано (3). Тоді

а будь-якого x 0 чи достатньо повільно;

б) якщо ціла кількістьk фіксоване чицелочисленная послідовність досить повільно, то .

Доказ. З визначенняan легко виводиться, що

  (4)

З (4) і леми 1 слід, що

(5)

Пункт а) доведено. Тепер доведемо б). Нехай D 0 - деяка константа. З (4) і леми 1, аналогічно (5), виводимо нічого для будь-якого фіксованогоk чи достатньо повільно, що

.

Вибором досить великий константи можна домогтися, що , звідки слід, що . Обираючи досить малу константу D =D2, одержимо, що . Отже, .

>Лемма 3. Нехай - схема серійс.в. з кінцевими другими моментами, у кожному серіїс.в. утворюють стаціонарну послідовність, що б умовіРСП з однією і тим самим коефіцієнтом перемішування причому . НехайTn,j ,. Тоді

(6)

Доказ. Перше нерівність в (6) доведено у пропозиції 3.3 з [4], а друге виведено в [3,лемма3.3].

>Лемма 4. Для будь-якого фіксованогоk чи достатньо повільно виконано співвідношення .

Доказ. Схема докази приведено в [?, теорема 18.2.3].

>Лемма 5. Нехайk =k(n) -целочисленная послідовність, досить повільно не прагне до нескінченності, і має місце (3). Тоді

(7)

де за .

Доказ. Для проведення оцінки (7) використовуються ідеї M.Пелиграда, запропоновані [4]. З огляду на пункту б) леми 2 є така константа З 0, що . Нехай - така числова послідовність, як іzn =o(Ck1/2). Тоді, маю на увазі пункт а) леми 2, то зрозуміло, що з

(8)

З (8) виводимо

де 0 - деяка константа. Користуючись пунктом а) леми 2, неважко обчислити, що з .

3 Доказ основного результату

Діяльність О.Г.Гриня [?] уведено поняття універсальноїнормирующей послідовності (УНП) . Саме там доведено

4. Нехай - стаціонарна послідовність, яка задовольнить умовіРСП. Щоб притягувалась до нормальному закону, досить, і якщо , і потрібно, щоб за будь-якого . Нехайk =k(n) -целочисленная послідовність, не прагне до нескінченності настільки повільно, що водночас справедливі леми 2, 4, 5. Тоді, маю на увазі що йлемму 3, отримуємо

(9)

Разом з визначенням УНП (9) означає, як іan2 =o(bn2). Нехай послідовністьq =q(n) прямує до нескінченності настільки повільно, щоan2 =o(q-1bn2). Користуючись пунктом а) леми 2, маємо нічого для будь-якого

при . Відповідно до теоремі 4, послідовність притягається до нормальному закону. Теорему доведено.

Список літератури

Ібрагімов І.А., Линник Ю.В. Незалежні і стаціонарно пов'язані величини. М.: Наука, 1965. 524 з.

>Гринь О.Г. Про областях тяжіння для сум залежних величин // Теоріявероятн. і його застосований. 1990. Т. 35.N2. З. 255-270.

>Peligrad M.Aninvarianceprinciplefor ->mixingsequences. -Ann.Probab. 1985. V. 13.N4. Р. 1304-1313.

>Peligrad M.OnIbragimov-Iosifescuconjecturefor ->mixingsequences //StochasticProcesses andtheirApplications. 1990. V. 35.P. 293-308.

>Сенета Є. Правильно міняються функції. М.: Наука, 1985. 142 з.


Схожі реферати:

Навігація