Реферати українською » Математика » Геофізичний "діалект" мови математики


Реферат Геофізичний "діалект" мови математики

Страница 1 из 2 | Следующая страница

В.М.Страхов

Об'єднаний інститут фізики Землі їм.О.Ю. Шмідта РАН, р. Москва

1. У 1995р. у статті “Геофизика і математика” , див. [1], автор вперше висловлювався так твердження: математика є мовою науки загалом, але кожна конкретна наука повинна “ розмовляти” у власному (специфічному) діалекті цієї мови.

2. У XX столітті впровадження математичних методів угеофизику (“ освоєння мови математики” ) йшло у основному шляхом запозичення готових результатів і методів, насамперед із математичної фізики та теорії некоректно поставлених завдань, але й з теорії ймовірностей і математичної статистики, обчислювальної математики, теорії диференціальних та інтегральних рівнянь.

Проте, на думку автора, епоха розробки методів порушення й вирішення завдань, виникаючих до геофізики на етапі інтерпретації даних спостережень різних елементів фізичних полів, з урахуванням запозичення результатів і методів, розроблених у різних розділах математики, закінчилася. Слід усвідомити справжню суть “ геофізичного діалекту” мови математики розпочати формування принципово нової математичної геофізики.

3. Над зазначеними загальними міркуваннями автор розмірковував останні 5 років; важливий етап у формуванні його розуміння суті “ геофізичного діалекту” мови математики перебував у усвідомленні недоліків (з його термінології – “ дефектності” ) класичних конструкційаддитивнойпараметровой регуляризаціїконечномерних лінійних некоректних завдань (стаття “ Критичний аналіз класичної теорії лінійних некоректних завдань” , див. [2]).

4. Щоб краще (точніше й глибше) зрозуміти сутність “ геофізичного діалекту” мови математики, доцільно в основі взяти основні установки, з одного боку – математичної фізики та класичної теорії некоректно поставлених завдань (ототожнюючи ці установки з установками математики цілому), з другого боку – нової математичної геофізики (яка перебуває, на думку автора, у процесі становлення).

У цьому доцільним представляється виділення наступних трьох типів установок:

I) які стосуються вибору базових математичних теорій щодо фізичних полів, до ідейним постановкам завдань і способам дослідження;

II) які стосуються обліку апріорній інформації про властивості шуканого рішення і перешкод у вхідних даних – у разі некоректно поставлених завдань (і – у разіконечномерних лінійних некоректних завдань);

III) які стосуються розробці про чисельні алгоритмів і тих конкретних комп'ютерних технологій вирішення завдань, що є основним робочим інструментом і який видають у розпорядження дослідників.

Нижче дається докладніша характеристика зазначених трьох типів установок (в математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань – з одного боку, й у математичної геофізики – з іншого).

5. Почати з характеристики установок першого типу. Установки математичної фізики та теорії некоректних завдань перераховуються (тут і скрізь нижче) під буквою А, установки ж математичної геофізики – під буквою Б.

А. Використовуються виключно теоріїконтинуальних фізичних полів, описувані диференціальними рівняннями чи системами подібних рівнянь, у приватних похідних (переважно – лінійними) для основних елементів полів (скалярних чи векторних потенціалів). Основні завдання, студійовані у межахконтинуальних теорій – прямі і зворотні, і навіть крайові (якщо поля залежить від часу). Основні аналітичні об'єкти, аналізовані у межахконтинуальних теорій фізичних полів –бесконечномерние (функції, є елементамибанахових просторів; оператори, діючі лише з функціональних просторів до інших;бесконечномерниефункционали, певні на елементахбанахових просторів, тощо.). Основні які вирішуються завдання – типуоператорних рівнянь вбанахових ( або як вузько –гильбертових) просторах, завдання перебування значень операторів (найчастіше – лінійних, але необмежених) на елементах функціональних (>банахових,гильбертових) просторів, завдання мінімізації (умовні і безумовні)бесконечномернихфункционалов. Використовується класифікація розв'язуваних (>бесконечномерних) завдань на коректно і некоректно поставлені. Основні позиції, використовувані під час аналізу завдань: 1) проблема існування рішень завдань за певних (>бесконечномерних) даних; 2) проблема одиничності рішень завдань; 3) проблема стійкості рішень завдань. Основні результати досліджень завдань: а) теореми існування, одиничності і стійкості – для коректно поставлених завдань; б) теореми умовного існування, умовної одиничності й умовною стійкості – для некоректно поставлених завдань; в) теореми регуляризації (збіжності) для методів рішення некоректних завдань.

Процедури дискретизації просторових змінних, відповідно дискретизації диференційних рівнянь задіяні лише в локальному варіанті – розробки про чисельні методів рішення крайових (>начально-краевих) завдань. Загальна методологіяаппроксимационного підходу під час вирішення основних (>бесконечномерних) завдань не формулюється. Створення комп'ютерних технологій вирішення завдань не вважається головним.

Б. Поруч із теоріямиконтинуальних фізичних полів використовуються також теорії дискретних фізичних полів (які виникають при дискретизації всього тривимірногоевклидова простору, і навіть приконечномерной апроксимації диференційних рівнянь); у своїй замість крайових умов використовуються конструкції регуляризації. Результати, отримані у межах математичної фізики дляконечномерних аналітичних об'єктів і завдань (теореми одиничності, теореми збіжності тощо.) використовують у обмежений обсяг. Основне значення надається розробці єдиногоаппроксимационного підходу до побудови рішеньбесконечномерних завдань, тобто. переходу відбесконечномерних об'єктів і завдань доконечномерним, яким надається визначальне значення.Решаемиеконечномерние завдання також поділяються на коректно і некоректно поставлені, основне значення надається проблемі перебування наближених рішень лінійних некоректно поставлених завдань, тобто. перебування наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними. У цьому головна мета всіх теоретичних побудов є створення ефективних комп'ютерних технологій.

6. Переходимо до характеристиці установок другого типу.

А. У математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань, хоч і приймається, що рішення некоректних завдань можна отримати лише за використанні так званої апріорній (додаткової) інформації про властивості шуканого рішення і перешкод у вхідних даних, проте це приймається стратегія використання мінімальних обсягів апріорній інформації. Саме, використовується лише та завжди апріорна інформація, що забезпечує факт регулярності запропонованих (розроблюваних) методів, тобто. збіжності рішень до точним за незначного зниження інтенсивності перешкод (в прийнятих метриках) нанівець. У цьому основні розроблювані методи ставляться добесконечномерним завданням, наконечномерние вони поширюються без різних змін.

Проблема підвищення точності й діють надійності одержуваних рішень з допомогою використання максимально можливих обсягів апріорній інформації з суті не розглядається.

Б. У математичної геофізики основне значення надається проблемі отримання максимально надійних і точних рішеньконечномерних завдань, і – завдань перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними. У зв'язку з цим у розгляд вводиться масу різноманітних (за типами перешкод у вхідних даних, за наявними обсягам апріорній інформації про перешкодах) постановок некоректних завдань. Як самостійної (має принципове значення) розглядається завдання перебування різних характеристик перешкод безпосередньо за тими заданим (з спостережень) величинам, якими шукаються вирішення завдань.

7. Далі переходимо до характеристикам установок третього типу.

А. У межах математичної фізики та класичної теорії некоректних завдань проблема створення про чисельні алгоритмів і найефективніших комп'ютерних технологій не сприймається як має принципове значення. Це правда сказати, суто технічна проблема, що у кожному конкретному випадку повинно вирішуватися по-своєму. Ніяка загальна методологія, з урахуванням якого має розроблятися проблема створення про чисельні алгоритмів і найефективніших комп'ютерних технологій, не створюється.

Б. У межах ж математичної геофізики аналізованої проблемі має першочергове значення. Стверджується, що у розроблюваних про чисельні алгоритми і комп'ютерних технологіях передусім мають реалізовуватися установки загальної методології інтерпретації геофізичних даних, і – концепціяметодообразующих ідей [3]. Останні мають ієрархічне будова, на верхньому рівні фундаментальних ідей останніх лише п'ять:

1) ідея використання аналітичнихаппроксимаций (досліджуваних функцій, рівнянь і завдань);

2) ідеякритериальности (використання таких спеціальних критеріїв, яких мають задовольняти шукані рішення);

3) ідеяалгебраизации (бажано вирішення завдань шукати як вирішення однієї, або деякою сукупності, систем лінійних алгебраїчних рівнянь);

4) ідея узгодження безлічі допустимих рішень (через наявність невизначеності в використовуваної апріорній інформації число допустимих – які суперечать апріорній інформації – рішень то, можливо ціле безліч; але користувачеві бажано мати у остаточному підсумку лише одне рішення, звідси - необхідність в конструюванні остаточного рішення щодо безлічі допустимих);

5) ідея використання методів розпізнавання образів – у межах як розроблюваних про чисельні алгоритмів, і створюваних комп'ютерних технологій.

У математичної геофізики принципово важливим приймається використання методів розпізнавання образів – як із формуванні тих обсягів апріорній інформації, а далі вона використовують у алгоритми перебування шуканих рішень некоректних завдань, і під час аналізу ходу обчислювального процесу, при управлінні цим ходом.

8. Слід підкреслити і інших важливих позицій, якими є принципову відмінність між установками математичної фізики та теорії некоректно поставлених завдань – з одного боку, та Закону нової математичної фізики – з іншого. Цих позицій вісім.

а) У математичної геофізики фундаментальне значення має тут проблема комплексного використання даних кількох геофізичних методів – з метою побудови найнадійніших і точних моделей будівлі земних надр, і навіть які протікають у якихгеодинамических процесів. У математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань то цієї проблеми сутнісно не розглядається.

б) У низці геофізичних методів (>гравиметрия,магнитометрия,геоелектрика) найважливіше значення має тут проблема побудови метрологічних лінійнихаппроксимаций функцій, що описують елементи досліджуваних фізичних полів лежить на поверхні Землі та у її зовнішності. Такі аналітичні апроксимації мають будуватися безпосередньо за даними вимірів різних характеристик зовнішніх полів – у кінцевому числі точок, довільно розташованих лежить на поверхні Землі та у її зовнішності. Вирішення даної проблеми дозволить принципово змінити інформаційну основу геофізики – аналітичні апроксимації повинні замінити карти. У межах математичної фізики та класичної теорії некоректних завдань проблема побудови аналітичнихаппроксимаций елементів фізичних полів сутнісно не розглядається.

в)Создаваемие у межах математичної геофізики алгоритми вирішення завдань (відповідно – реалізують їх комп'ютерні технології) організуються те щоб виходили деякі внутрішні оцінки надійності і точності одержуваних рішень. Такі оцінки виявляються можливими адже й дані спостережень, наявна завжди апріорна інформація поділяються на частини: по-перше, безпосередньо яка у обчислювальному процесі, тобто. у процесі перебування шуканого виконання завдання, а по-друге, не яка у обчислювальному процесі, але яка у спеціальних процедурах оцінки точності й діють надійності отриманих рішень (інакше – контрольні дані). З отриманням незадовільних оцінок процедура знаходження рішення задачі має повторюватися – за іншої організації використовуваних даних, і апріорній інформації. Такапереорганизация процедури знаходження рішення може здійснюватися кілька разів. Зрозуміло, у межах математичної фізики та теорії некоректних завдань такого роду аспекти перебування рішень завдань не розглядаються зовсім.

р) У межах математичної фізики розглядається ціле безліч моделей перешкод у вхідних даних, які не розглядаються у "класичній теорії некоректних завдань. По-перше, це моделімультипликативно-аддитивних перешкод, у своїй кожна гілка складових цієї моделі характеризується цілим набором числових величин. По-друге, це моделі перешкод різнорідних іразноточних, тобто. з “ блокової характеристикою” . Інакше висловлюючись, вектор перешкоди наділяється блокової структурою, й у блок (>парциальний вектор перешкоди) наділяється власними (різними) характеристиками перешкоди. Використовується ще й низку інших моделей перешкод у вхідних даних розв'язуваних завдань.

буд) У математичної геофізики використовується принципово новий метод перебування аналітичнихаппроксимаций елементів фізичних полів – метод інтегральних уявлень, покликаного замінити класичний метод інтегральних рівнянь. У цьому найважливішим приватним випадком цього є метод лінійних інтегральних уявлень. Дані методи, див. [3,4], створено саме у математичної геофізики, де вони розроблялися в математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань.

е) У межах математичної геофізики найважливішої обчислювальної проблемою визнається проблема перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними, великий (>P=NM=108–109) і надвеликої (>P=NM 1010) розмірності (тут N – число рівнянь у системі, М – число які підлягають визначенню невідомих – компонент вектора x). Через це у ній запропонований низку принципово нових конструктивних ідей, використовуваних розробки алгоритмів перебування шуканих рішень лінійних систем, див. [5-21]. Тут насамперед слід відзначити ідею редукції систем до канонічної формі (у якій вектор правій частині системи має лише однуненулевую компоненту), ідею редукції систем в канонічної формі до вирішення одного рівняння з одного невідомої, ідею адаптивної регуляризації (заснованої на використанні спеціальних – про кореляційних ортогональних перетворень матриць систем (прим. автора: тут особливо слід підкреслити те що, у межах тієї нову теорію регуляризації систем лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розробляється автором останніми роками, див. [ ], використання нових ортогональних перетворень (не розглядали до цього часу обчислювальної лінійної алгебрі) має у певному сенсі визначальне значення.)) і чимало інших конструктивних ідей, у яких але немає можливості зупинятися. Створені у межах математичної геофізики нові алгоритми перебування наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь є новими й у обчислювальної лінійної алгебри.

ж) У межах нової математичної геофізики розробляється принципово новий підхід до вирішення зворотних геофізичних завдань, передусім – вгравиметрии імагнитометрии, у якому зайвими у вирішенні складних (по аналітиці) прямих завдань. (Нагадаємо тут, що його метод рішення зворотних завдань геофізики полягає в багаторазовомуварьировании моделей досліджуваної геологічне середовище вулканічний, рішенні відповідних завдань кожної з моделей і зіставленні вирахуваних – кожної моделі – величин з цими спостережень.) У межах нового підходу, що у рамках теорій дискретних фізичних полів, використовуються два прийому:

по-перше, прийом побудови еквівалентних розподілів джерел полів,

по-друге, прийом перетворення прийнятих модельних джерел поля була в відповідні їм еквівалентні.

Нині виникає важливе завдання впровадження нового підходу в практику інтерпретації геофізичних даних, передусім – даних гравітаційних і магнітних спостережень.

3) Математична геофізика і класична теорія некоректних завдань є “ прив'язаними” до додатків

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Читання і запис натуральних чисел
    Р. Самойлик, методист >ОМЦ >ЗОУКО, Москва На уроці на тему «Позначення натуральних чисел» вчителю
  • Реферат на тему: Крах релятивізму Лоренца - Ейнштейна
    Анатолій Риков Ми звикли пізнавати світ образу і жити з допомогою порівнянь. Судимий з допомогою
  • Реферат на тему: Велика теорема Ферма
    Валерій Петров Більше 350 років математики усього світу безуспішно шукають на запитання: «Чи
  • Реферат на тему: Перетворення Фур'є
    Анатолій >Карташкин У основі перетворення Фур'є (ПФ) лежить надзвичайно проста, але дуже
  • Реферат на тему: Кооперативні ігри
    Кооперативні гри виходять у випадках, коли, у грі n гравців дозволяється утворювати певні коаліції.

Навігація