Реферати українською » Математика » Історія геометрії


Реферат Історія геометрії

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Запровадження

Геометрія виникла дуже довго, це один із найбільш древніх наук. Геометрія (грецьке, відge — земля іmetrein — вимірювати)— наука щодо простору, точніше — наука про форми, розмірах і втрачає межах тих частин простору, що у ньому займають речові тіла. Таке класичне визначення геометрії, чи, вірніше, таке дійсне значення класичної геометрії. Та сучасна геометрія у багатьох своїх дисциплінах виходить далеко межі цього визначення. Розвиток геометрії принесло з собою глибоко що йде еволюцію поняття щодо простору. У цьому значенні, у якому простір як математичний термін широко вживається сучасними геометрами, воно. не може бути первинним поняттям, у якому спочиває визначення геометрії, а, навпаки, саме знаходить визначення у розвитку геометричних ідей.

Важливу роль грали й естетичні потреби людей: бажання прикрасити своє житло і одяг, малювати картини нашому житті. Усе це сприяло формуванню і нагромадженню геометричних відомостей. Протягом кількох століть до нашої ери у Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції мали початкові геометричні знання, які добувалися переважно дослідним шляхом, але вони були ще систематизовані і гроші передавалися від покоління до покоління як правив і рецептів, наприклад, правил перебування площ постатей, обсягів тіл, побудова прямих кутів тощо. Немає ще доказів цих правил, та його виклад було собою наукової теорії.

Геометрія сході

Батьківщиною геометрії вважають зазвичай Вавилон і Єгипет. Грецькі письменники одностайно сходяться па тому, що геометрія виникла Єгипті та звідти перенесена в Елладу.

Перші кроки культури скрізь, де виникала, у Китаї, таки в Індії, в Ассирії, в Єгипті, пов'язані з необхідністю вимірювати відстані і ділянки землі, об'єми та ваги матеріалів, продуктів, товарів; перші значні споруди вимагали нівелювання, витриманому вертикалі, знайомства з планом і перспективою. Необхідність вимірювати часові відтинки вимагала систематичного спостереження над рухом світил, отже, виміру кутів. Усе було нездійсненне без знайомства із елементами геометрії, і всіх названих країнах основні геометричні уявлення виникали частиною незалежно друг від друга, частиною — гараздпреемственной передачі. Проте точних даних про пізнаннях єгиптян у сфері геометрії ми маємо. Єдиним першоджерелом, що дійшли до нас, є папірус, написаний при фараоніPayee ученим писарем йогоАхмесом (>Ahmes) у період 2000 і 1700 р. до нашої ери. Це — керівництво, що містить різноманітних математичні завдання й розв'язання; значне більшість завдань належить до арифметики, менша частина — до геометрії. З останніх майже всі пов'язані з виміром площ прямолінійних лідерів та кола, причомуАхмес приймає площа рівнобедреного трикутника рівної твору підстави наполовину бічний боку, а площа кола — рівної площі квадрата, сторона якого менше діаметра на 1/3 його частину (це справді даєл=3,160...); площаравнобочной трапеції він швидко приймає рівної творуполусумми паралельних сторін відпочивати бік. Як очевидно з інших завданьАхмеса, єгиптяни цієї пори знали, що кути прямокутного трикутника визначаються ставленням катетів. Як вони прийшли до цих правилам, знали чи найосвіченіші жерці — хранителі єгипетської науки, — що й дані є лише наближеними, це ми не маємо жодних додаткових даних. Так само мало знаємо ми у тому, що додало до цих знанням єгиптян таке тисячоліття; більш-менш значних успіхів вони в будь-якому разі не зробили. Важко сказати цілком точно, що з цих відомостей єгиптяни відкрили і що вони запозичували від вавилонян і індусів. Безсумнівно лише те, що геометричні відомості вавилонян були так само уривчасті і саме жалюгідні. Їм належить розподіл окружності на360о; вони мали інформацію про паралельних лініях і відтворювали прямі кути; все це було їм необхідні при астрономічних спостереженнях, які, очевидно, переважно й виробництвом призвели до геометричних знань. Вавилоняни знали, що сторона правильного записаного до коло шестикутника дорівнює радіусу. Характерним при цьому першого, у сенсі доісторичного, періоду геометрії є дві сторони справи: по-перше, встановлення найбільш елементарного геометричного матеріалу, прямо необхідного в практичну роботу, а по-друге, запозичення цього з природи шляхом безпосереднього спостереження («почуттєвого сприйняття», за словамиЕвдемаРодосского). Найхарактерніше вираз цього безпосереднього апелювання до інтуїції як єдиному засвідченню правильності висловленої істини ми бачимо уиндусского математикаГанеши.

2. Грецька геометрія

Грецькі автори відносять поява геометрії у Греції до кінця VII в. до зв. е. і пов'язують його безпосередньо з ім'ямФалесаМилетского (639—548), усе наукове діяльність якого полягає змальовується греками вполумифическом світлі, отже точно її відновити неможливо. Достеменно, очевидно, те, що Фалес замолоду багато подорожував по Єгипту, мав спілкування з єгипетськими жерцями і навчився багато чому, зокрема геометрії. Повернувшись там, Фалес замешкав уМилете, присвятивши себе занять наукою, і оточив себе учнями,образовавшими так звануИонийскую школу.Фалесу приписують відкриття низки основних геометричних теорем (наприклад, теорем про рівність кутів при підставі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів тощо. п.). Важливіше, очевидно, інше. Важко допустити, щоб наука, "хоча в зародковому свій стан, було покладено натреческую грунт одним чоловеком.Важио те що Елладі за інших умов економічних відносин також соціального життя утворився клас, на той час безсумнівно прогресивний, якусвоивший східну культуру, а йразвивший до невпізнанною висоти, створив, в такий спосіб, вже свою високу еллінську культуру. У разі швидко розвивалася архітектури, мореплавання, цивільної та військову техніку, за умовразвертивавшихся вже у з цим досліджень у сфері астрономії, фізики, механіки, вимагали точних вимірів, як дуже швидко виявилися протиріччя, та неправильності єгипетської геометрії, а й у виправленому вигляді її убогий матеріал перестав задовольняти зрослим потребам. Елементарні прийоми безпосереднього спостереження східної геометрії безсилі перед новими завданнями. Щоб їх дозволити, довелося б відірвати геометрію від безпосередніх завдань виміру полів і будівлі пірамід, — завдань, вузьких за всієї важливості, — й гордо поставити їй незмірно ширші завдання. Цією тенденції повинно бути був початокФалесом.Ионийская школа перенесла геометрію до області значно більше широких уявлень, і завдань, надала їй теоретичний характері і зробила її предметом тонкого дослідження, у якому поруч із інтуїцією починає грати видну роль і абстрактна логіка.Абстрактно-логический характер геометрії, що уИонийской школі лише намічався, затягнувся, щоправда, кілька містичним флером у піфагорійців, прийняв у Платона або Ньютона більш здорові форми й у Олександрійської школі знайшов своє завершення. Було створено наука, широка за задумом, багата фактичним матеріалом, та, попри абстрактний характер, дає ряд надзвичайно важливих практичних застосувань. Понад те, можна сказати, що у абстрактної структурі, яку завоювала геометрія в працях грецьких вчених із VI по III в. до зв. е., і корениться можливість різноманітного конкретного використання.

Найстрашніше слово «геометрія» недовго зберігає свою первісне значення — виміру землі. Вже Аристотель ввів для такого виміру новий термін — геодезія. Але й зміст нової дисципліни незабаром також стали розуміти ширшому сенсі, що може бути найкраще передається сучасним терміном «метрична геометрія». У працяхФалеса, Піфагора, Платона, Демокрита, Гіппократа,Динострата,Никомеда, Аристотеля, якщо назвати лише найважливіших, із надзвичайною швидкістю виробляються встановлення політики та систематизація фактичного матеріалу класичної геометрії. Слід зазначити, що мені відомі лише розрізнені ланки в цільною ланцюга розвитку геометрії; багато ланки і імена цілком втрачено. Близько IV в. до зв. е. вже є з'являтися зведені твори під назвою «Почав геометрії», мали завданням систематизувати видобуте геометричний матеріал. Такі «Почала» за свідченнямПрокла, склали ГіппократХиосский, Феодосії зМагнезии,ГиеронимКолофонский та інших. Жоден з цих творів до нас потребу не дійшло: усі вони втратили своє значення і було забуті, коли чудове посібник з геометрії — «Почала» Евкліда, жив кінці IV — початку III в. до зв. е.

>Евклид жив у Олександрії за доби, коли утворився найбільш великий центр грецької наукової думки. Маючи праці своїх попередників,Евклид створив глибоко продуману систему,сохранявшую керівну роль протягом понад 2 тисяч літ. «Упорядник Почав» — це прізвисько зробилося хіба що власним ім'ям, під який усе пізніші грецькі математики розуміли Евкліда, яке «Почала» стали підручником, яким у протягом двох тисячоліть навчалися геометрії юнаки і дорослі. Навіть ті підручники, якими ведеться початкове навчання геометрії нашого часу, сутнісно є переробку «Почав» Евкліда.

Матеріал, який міститься у «>Началах», сутнісно охоплює елементарну геометрію, як її розуміємо нині. Метод побудови геометрії у Евкліда пізніше характеризували словами — будувати геометрію виключно геометричними засобами, не вносячи у ній далеких їй елементів. Це означає передусім, щоЕвклид не вдається до арифметичним засобам, т. е. дочисленним співвідношенням. Рівність постатей у Евкліда означає, що є підстави суміщені рухом, нерівність — що одне постать то, можливо цілком або частинами уміщена до іншої.Равновеликость постатей означає, що є підстави складено з двох частин. Саме цими засобами, не вдаючись навіть до пропорціям,Евклид доводить, кожен багатокутник то, можливо перетворений на рівновеликий трикутник, а трикутник — в квадрат.

Теорему Піфагора у Евкліда має сенс тільки той зміст, яке встановлюється його доказом: квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, то, можливо розкладено на частини, рівновеликі квадратах, збудованим з його катетах; пов'язане з цим алгебраїчне співвідношення про чисельні значень гіпотенузи і катетів йому цілком чуже. Але це замало те, щоЕвклид не користується числовими співвідношеннями, — він встановлює геометричні співвідношення, еквівалентні основним алгебраїчнимтождествам, встановленим набагато пізніше; цьому присвячена майже половину другий книжки «Почав».

Епоха великих геометрів (другий Олександрійський період). Найхарактернішою рисою другий Олександрійської епохи і те, що вона дала з собою метрики, якої геометрії Евкліда бракувало. Ту завдання, якуЕвклид, то, можливо, свідомо оминав, — вимір, — Архімед поставив на чільне місце. Не випадково, а пов'язана з тим прикладним напрямом, яким перейнято все творчість Архімеда, жив епоху (III в. до зв. е.), коли боротьба між окремими грецькими державами за незалежність" і за гегемонію досягла найбільшого напруги; старість само одержувати його протік у роки, коли почалася рішуча боротьба Еллади за саме її існування. Легенди пов'язують всю захист Сіракуз безпосередньо з ім'ям Архімеда, який винаходив дедалі нові метальні гармати,отражавшие суду обложили. Скільки у тому правди, що сказати важко. Але Плутарх свідчить, діяльністьинженера-практика Архімеда будь-коли приваблювала, і не написав із цього предмета жодного твори. У III в. до зв. е. прикладні завдання стояли вже перед еллінськими вченими під все зростання. Заслуга Архімеда полягала в тому, що він побудував дуже багато катапульт, суть у тому, що йому належить теоретичні основи, у яких зрештою і з сьогодні спочиває машинобудування, — він створив основи механіки. Механіка вимагала обчислення мас, отже, площ, і обсягів, і навіть центрів тяжкості; механіка настійно вимагала метричної геометрії; цьому й зосереджено увагу Архімеда в геометрії. Труднощінесоизмеримих відносин долає у порядку, котрий за час залишається сутнісно єдиним способом як практичного обчислення, а й теоретичного побудови вчення про ірраціональних величинах, — шляхом складання послідовних наближень. На цьому шляху й довелося б виняткове мистецтво, бо великовагова система числення представляла найслабше місце грецької математики. Архімед намагався радикальні кошти на подолання труднощів числення — цьому присвячена його книжка «>Исчисление піску». До мети цекривело. Цей твір є ще одне свідчення виняткового дотепності Архімеда, але з дає хороших коштів на практичного рахунки. Найважливішим було близьке обчислення квадратних коренів, необхідне наближеного ж обчислення довжини окружності; цьому присвячено особливе, невеличке твір, сутніснозаключающее близьке обчислення периметрів правильних96-угольников, записаного до окружність і описаного біля неї.

Отже, твори Архімеда істотно відрізняються від геометрії Евкліда і матеріалом та кількості методом; це — величезний крок уперед, це — нова епоха. У викладі цих досягнень, проте, витримана система Евкліда: аксіоми і постулати на початку кожного твори, тонко продумана ланцюг умовиводів, претендує на досконалість мережі силогізмів. Але, як і системи Евкліда, геометрія Архімеда постійно віддає щедру данина інтуїції, причому не лише поруч із геометричній інтуїцією тут з'являється інтуїція механічна.

Твори, присвячені тлумачення «Почав» з'явилися рано. Першим коментатором Евкліда був, очевидно, щеГемин Родосський, жила у ІІ. до зв. е. займалися цим пізніше Герої іПапп, і навітьТеон та інші, та їх коментарі до нас або взагалі немає, або залишилися самі в уривках у передачіПрокла, який писав вже у V в. зв. е. КоментаріПрокла стали невдовзі класичним твором, з яким тривалий час ніхто не конкурував у справі тлумачення «Почав». До того жПрокл жив вже у епоху повного занепаду грецької науку й йому випало лише підвести загальний підсумок діяльності його великих попередників. Значення коментаторів Евкліда полягає переважно, у цьому, що вони з'ясували слабких місць його логічного схеми. Не зробивши ще нічого для істотного поліпшення цієї схеми, вони вказали шляхи, якими пробираються у систему Евкліда міркування, порушують витриману нитку логічних висновків. Багато було висловлено глузливих зауважень щодо коментаторів Евкліда: казали, що вони переливали з порожнього в порожнє, робили ясне незрозумілим. У цих закидах, звісно, багато правди. Коментування елементарного твори не потребує великих знань, і тому було написане багато легковажних і беззмістовні творів щодо «Почав» Евкліда і питання про підстави геометрії взагалі. Але не можна заперечувати, що коментатори Евкліда, старанно вивчали «Почала»

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація