Реферати українською » Математика » Прості числа Мерсенна. Досконалі числа


Реферат Прості числа Мерсенна. Досконалі числа

Серед простих чисел особливу роль грають прості числаМерсенна - числа виду1)Мр = 2р -1 , де р - просте число. Вони називаються простими числамиМерсенна під назвою французького ченцяМеренаМерсенна (1588-1648), однієї з засновників Паризької Академії наук, друга Декарта і Ферма. Оскільки М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, це - прості числаМерсенна. Проте, число2)М11=2047=23 . 89     простим перестав бути. До 1750 року був знайдено лише вісім простих чиселМерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. Те, що М31 - просте число, довів в 1750 року Л.Эйлер. У 1876 року французький математик Едуард Люка

встановив, що кількість

                >3)М127=170141183460469231731687303715884105727

- просте. У 1883 р. Сільський священик Пермської губерніїИ.М.Первушин без будь-яких обчислювальних приладів довів, що кількість М61=2305843009213693951    є простим. Пізніше було встановлено, що числа М89 і М107 - прості. Використання ЕОМ дозволило 1952-1964 роках довести, що числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - прості. На цей час відомо понад 34 простих чиселМерсенна, одна з яких М216091 має 65050 цифр. Велике зацікавлення простою числамМерсенна викликаний в їхній тісній зв'язком із досконалими числами.

Натуральне число Р називається досконалим, коли вона дорівнює сумі допомоги всіх своїхделителей крім Р.

>Евклид довів, що й р і 2р-1 - прості числа, то число4)Рр=2>р-1(2р-1)=2>р-1Мр   є досконалим.

Справді,делителями такого числа, включаючи саме ця число, є 5)1,2, ... ,2>р-1р,2Мр, ... ,2>р-1Мр .

Їх сума P.S>p=(1+2+ ... +2>р-1)(Мр+1)=(2р-1) . 2р=2 . 2>р-1 Мр. >Вичитая з P.S саме число Рр , переконуємося, сума всіхделителей числа Рр дорівнює цьому числу, отже Рр - досконале число.

>Числа Р2=6 і Р3=28 були відомі ще піфагорійцям.Числа Р5=496 і Р7=8128 знайшовЕвклид. Використовуючи інші прості числаМерсенна і формулу 4, знаходимо такі скоєні числа:

>6)Р13=33550336, Р17=8589869056, Р19=137438691328, Р31=2305843008139952128.

Всім інших чиселМерсенна числа Рр мають дуже багато цифр.

До цього часу залишається загадкою, якМерсенн зміг висловити правильне твердження, що числа Р17, Р19, Р31 є досконалими. Пізніше було знайдено, тобто майже за років доМерсенна числа Р17, Р19 знайшов італійський математикКатальди - професор університетів Флоренції і Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїх обранців правильні значення цих скоєних чисел. Коли ж врахувати, що ще піфагорійці вважали перше досконале число 6 символом душі, друге досконале число 28 відповідало числу членів багатьох вчених товариств, що у дванадцятому столітті церква навчала: для порятунку душі досить вивчати скоєні числа й інші, хто знайде нове божественне досконале число, уготоване вічне блаженство, стає зрозумілим винятковий інтерес до цих числам.

Однак з математичної поглядучетние скоєні числа по-своєму унікальні. Усі вони - трикутні. Сума величин, зворотних всімдилителям числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від розподілу досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. Удвоичной системі досконале число Рр  починається р одиницями, потім ідутьр-1 нулів. Наприклад:

>7)Р2=110, Р3=11100, Р5 =111110000, Р7 =1111111000000 тощо.

Остання цифрачетного досконалого числа чи 6, чи 8, причому, якщо 8, їй передує 2.

ЛеонардЭйлер довів, що цечетние скоєні числа мають вигляд 2>р-1 . Мр, де Мр-просте числоМерсенна. Проте досі не знайдено жодногонечетного досконалого числа. Висловленопредположение(БрайенТакхерман,США), що таке число існує, воно повинен мати щонайменше 36 знаків.

 

 

 

 

 

 


Схожі реферати:

Навігація