Реферати українською » Математика » Розвиток аналітичної геометрії


Реферат Розвиток аналітичної геометрії

Страница 1 из 3 | Следующая страница

>МОГИЛЕВСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЇМ. А. А.КУЛЕШОВА

>Реферат

 

Розвиток аналітичної геометрії

 

 

Виконала

студентка

 фізико-математичного

факультету

V курсу, групи “Р”

>Гуленкова Оксана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Могилів 2002.
>Алгебраические методи в геометрії

Застосування алгебри в геометрії мало до початку XVII в. довгуисторию. Ще древні вавілоняни вирішували багато завдань на прямокутні трикутники, висловлюючи шукані відтинки, як коріння про чисельні квадратних рівнянь; аналогічні прийоми вживалися згодомнеодно кратно. У класичної! Греції важливим засобом геометричного дослідження, зокрема конічних перетинів, служилагеометрическая алгебра, у якій місце обчислень займали побудови відрезков.

Бурхливі успіхи символічною і числової алгебри в XVI в. стали основою значно більше великих додатківалгебраического методу в геометрії, що призвели до створення нової аналітичної геометрії. Первоначально роботи у цьому напрямі не виходили межітрадиционних постановок і рішень питань, іноді досить складних. Велика кількість завдань було розглянутоВиетом, на яких по належали й інші, наприкладМаринГеталдич (>Гетальди, 1566—1627), уродженець югославського містаДубровник (>Рагуза), тоді колишнього самостійної республікою. УченьХр.Клавия і добрий знавець грецьких авторів,Гетальди відчув особливо сильний впливВиета, з яким ознайомився бутність у Парижі. У «>Собрании різних завдань» (>Variorumproblematumcollectio,Veneliae, 1607) і посмертно з даному праці «Про математичному аналізі та синтезі» (Deresolutione etcompositionemathematica,Romae, 1630)Гетальди засобами алгебри Віета вирішує різноманітні завдання на розподіл відрізків, побудоватре косинців так звані вставки (порівн. т. I, стор. 84); по більшу частину і завдання центру виражаються рівняннями першої або ж другий ступеня відносительно шуканого невідомого відрізка. У окремих випадках застосовується суто геометричне рішення. Згадаємо античну завдання про уставці між продовженням боку квадрата і найближчій перпендикулярної стороною відрізка даної довжини, продовження якого проходить через вершину квадрата, не що лежить на названих сторони.Гетальди відніс завдання до тих, які ставляться до алгебрі (>subalgebram noncadunt), і він вирішив її геометрично. Це завдання привернула увагу й інших учених.Жирар (1629) висловив її рівнянням четвертого ступеня і з показував, як пов'язаний вибір знаків перед радикалами, які входять у його корів ні, зі становищем частин шуканого відрізка. Декарт (1637) розглянув її із єдиною метою привести приклад рівняння четвертого ступеня,распадающегося на два квадратних (коефіцієнти яких, ніби між іншим,квадратичноир раціональні щодо вихідних коефіцієнтів). Попутно Декарт зазначив, як з більш більш-менш вдалого вибору невідомої залежитьсравнительная простота рівняння. Ці міркування Декарта докладніше развити у «Загальної арифметиці» Ньютона. Оригінальна рішення у слід щеГюйгенсу.

>Алгебраическим рішенням геометричних завдань займалися, очевидно, дуже багато. До вже названим можна додати, наприклад, ім'я англійськогоалгебраиста ВільямаОтреда (1574—1660), на книзікоторого, названій, подібно одного з творівал-Каши, «Ключ мало тематики» (>Clavismathematicae,Londini, 1631)[1], позначилося безсумнівну вплив «Збори різних завдань»Гетальди.

Аналітична геометрія

Описана алгебраїчна трактування питань геометріїподготовляла грунт створення аналітичної геометрії, предметом якоїявляется вже нс лише перебування окремих відрізків, які висловлюються корівнями рівнянь з однією невідомим, але вивчення властивостей різних геометричних образів, передусім алгебраїчних ліній іповерхностей, які висловлюються рівняннями з цими двома або як невідомими чи доординатами.

Координати з'явилися ще давнини, притому у різних формах, між собою безпосередньо які пов'язані. З одного боку, що це географічні координати, іменувалися довготою і широтою, причому становище пунктів земної поверхности, зображеною у вигляді прямокутника, характеризувалося парою чисел.Сходними були астрономічні координати, служили визначення становища світил на небесної сфері. Інший видкоординат виглядали відтинки, залежності між якими, звані симптоми (див. т. I, 130), висловлювали що визначають свійства цих кривих. І тут йшлося щодо числових координатах будь-яких точок з відліком від фіксованого меридіана і паралелі, а про відтинках діаметрів іхорд, що з точками аналізованої фігури.

Своєрідною різновидом координат були відтинки широт і довгот теоретично зміни формОрема. Тут було ні числовихкоординат будь-яких точок, ні «симптомів», виражених засобамигеометрической алгебри; словесно сформульована залежність між широтою і довготою форми зображувалася пласкою лінією.

>Координатние відтинки давньогрецької геометрії відомими у Європі частиною по арабським творів, але переважно в трудам Архімеда і особливоАполлония.Параллельние хорди чиполухорди, поєднані деякому діаметру,Аполлоний називав, коли із грецької, «усе своєю чергою проведеними лініями», а відтинки цьогодиа метри з його кінця до хорди — «>отсеченними на діаметрі усе своєю чергою проведенними (лініями)» (на рис. 6 відповідно у і x). У йогоупоминавшемся раніше латинському виданні «>Конических перетинів» (Венеція, 1566)ФедоригоКоммандино перші

висловлювання передав оборотомordinatimapplicatae, т. е. «усе своєю чергою докладені» (т. е.направленние)[2], авто рої —quaeabipsis exdiametro adverticemabscinduntur, т. е. «які відтинаються ними па діаметрі від вершини». Звідси беруть свій початок терміниabscissa, т. е. «отсеченная»,ordinata іapplicata, які, втім,укоренились не відразу. Слово «абсциса»,встречавшееся себто відрізка в різних авторів, наприкладКавальерп (1635), стаєтехническим терміном координатної геометрії в 1668 р. у Мікеланджело Річчі (1619—1692)ii особливо в Лейбніца, починаючи з рукописів 1673 р. Ферма і Декарт у основоположних творах по аналітичноїгеомет вдз (1636—1637; писали ще про «відтинках діаметра». Слово «ордината» у нашій сенсі застосовував інший перекладач па латину «>Конических сечений» —ФранчсскоМавролико. Ферма користувався терміномapplicata, Декарт —appliqueeparordre, т. е. французьким перекладомordinatimapplicata, але й (у листі 1638 р.) словомordonnee, яке неза довго до того в 1637 р. ужив у своїй курсі П.Эригон (влатинском тексті1644г.—ordinata); потім нею став регулярно користуватися Ляйбніц.

У XVIII в. слово «ордината» починає витісняти вгеомет вдз на площині слово «>аппликата». Обидві координати спочатку називалися невідомими величинами, як в Ферма, чи невизначені ми, як в Декарта; слово «координати» увів у 1692 р. Ляйбніц, маю на увазі вже будь-які криволінійні координати. Та й пізніше поняття про координатах пов'язували з відрізками діаметрів іхордами пласких кривих. Так виглядає, наприклад, залежить від статтях «>Abscissa,dieAbscisse» і «>Ordinatae,ordinatimapplicatae,dieOrdinaten» «Математичного словника» (>MathematischesLexicon,Leipzig, 1716)Xp. Вольфа (порівн. стор. 35).

Термін «вісь», який вАполлония ставився до взаємноперпендикулярнимсопряженним діаметрам, ужив ширшому сенсі І.Барроу (1670). Позначення початковій точки буквою Про перегукується з її найменуваннямorigine — «початок», даному Ф.Лагиром в 1679 р.; двадцатью роками раніше Я. де Вітт писав проinitiumimmutabile, нерухомому початку. Декарт ще характеризував точці, з якою починаються обчислення. Повернімося від історії термінології до своєї історії геометричних методів й ідей.

Аналітична геометрія Ферма

До розробки розпочав новою аналітичної геометрії незалежно друг від одного й одночасно приступили два найбільших французьких мало тематика XVII в.— Ферма і Декарт. Невеликий «Введення у вивчення пласких і тілесних місць» (Adlocospianos etsolidosisagoge) Ферма було написане дещо раніше 1637 р., але життя Ферма поширювалося черезМерсепна та інших лише у рукописному вигляді. Нагадаємо, що «плоскі і тілесні місця» — терміни грецької геометрії — означали прямі і окружності і еліпси, параболи і гіперболи. Робота написана в позначенняхВиета із дотриманням однорідностіуравнений.

Ферма формулює принцип аналітичної геометрії так: «Щоразу, як у заключному рівнянні є дві невідомі величини (>quantitatesignotae), очевидна є місце, інец а такою описує пряму або ж криву лінію... Для вустановления рівнянь зручно розмістити обидві невідомі величини під деяким заданим кутом (який ми здебільшого приймаємо прямим) і ситуацію і кінець одній звеличин»[3]. Як бачимо, під невідомими величинами (координатами) Ферма розумієпрямолинейние відтинки: першу їх він щоразу позначає >NZ і алгебраически буквою А, а другу відповідно >ZI і Є. Потім за порядку рассматриваются різні плоскі і тілесні місця.

>Уравнение прямий, що проходить через початкову точку, Ферма ви водить у вигляді

D на А одно У на Є,

т. е. >dx = >by (на рис. 7 нанесена лише деякі з прямий >NI, оскільки Ферма користується позитивними координатами). Цей випадок наводиться загальне рівняння першого ступеня (із зазначеним обмеженням) і кілька далі однорідне рівняння другого ступеня, до чого тут йдеться лише про одну з двох можливих прямих. Перше приведення сутнісно зі стоїть у перетворення координат, саме у паралельному зсуві вздовж горизонтальній осі: від рівняння виду з - >dx = >by Ферма переходить до >d (>r - x) = >by, де >dr = з. Ідею перетворення координат шляхом параллельного перенесення системи Ферма краще висловлює всле дмуть прикладах: встановивши спочатку, що у прямокутної системі рівняння окружності з центром у початковій точці є b2 - x2 = у2, він правильно характеризує загальне рівняння окружності й у зразка перетворює до основний формі рівняння

b2 - 2>dx = у2 + 2>rу.

І тому він робить доповнення до квадрата

>p1 - (x + >d)2 = (у + >r)2, де р2 = >r2 + b2 + >d2,

потім пише знову x замість x + >d і y замість у + >r і він здобуває

>p2 - x2 = у2.

Слід зазначити все-таки, що Ферма обходить мовчанням питанняотрица тільних координатах, якими виявляються координати центру (->d, ->r) у цій завданню (бо >d і >r в нього позитивні). Зрозуміло, побудувати центр йому було праці та у разі.

Основні рівняння конічних перетинів є у Ферма безпосереднє вираження у термінах алгебри їх властивостей, відомих в праціАполлоиня. Для параболи це рівняння x2 = >dy і симетричний у2 = >dx, для еліпса (b2 - x2)/y2 =const (вказується, у разі непрямого координатного кута крива будееллипсом і заconst = 1), для гіперболи (b2 + x2)/y2 =const. Цікаво, що у малюнку в последнем разі зображені обидві галузі гіперболи, хоча знов-таки про негативні координатах щось сказано. З іншого боку, наводиться рівнянняравносторонней гіперболи >ху=с. Усе це поширюється на відповідні рівняння, доповнені лінійними членами.

На приватному прикладі рівняння b2 - 2x2 = 2>xy + у2 Ферма розбирає і найбільш важкий випадок, коли групу старших членів містить і член з твором координат. Його міркування й побудови відповідаютьпереходу до нову систему координат X, Y з колишнім початком і віссюординат і з віссю абсцис, котра утворює кут 45° зі старою. У цьому системі Х = x, Y = x + у, отже (2b2X2)/Y2 = 2 і постать є еліпс.

Виклавши усе це, Ферма писав: «Отже ми коротко й зрозуміло виклали усе, що залишили нез'ясованим древні щодо пласких і тілеснихмест»[4]. Насправді було зроблено лише перший кроксозданию нових типів геометрії, яка, ніби між іншим, набула свогонинешнее найменування лише в кінці XVIIIв.[5]

Аналітична геометрія Декарта

«Запровадження» Ферма, довгий час яке лишилось б у рукопису, не знайшло того поширення, яке отримала «Геометрія» Декарта, видана 1637 р. Про вплив «Введение» на Декарта може бути промови. Ми вже, що це основні ідеї «загальної математики», як і авгебраической, і у геометричній частини, були в її творця непозд неї 1632 р.

Переказ аналітичної геометрії у Декарта багато в чому від цього Ферма. У першому воно поступається, бо розкидано за всіма трьома книгам «>Геометрии» і навіть у другий їх, що містить найважливіші елементи нової дисципліни, немає систематичного характеру, як у «Запровадження». Однак у інші стосунки геометрія Декарта мала якби тільні переваги. А у тому, що Декарт застосовувавболее розвинену символіку, що його виклад був доступнішими й багатше прикладами, він висунув кілька загальних ідей пропозицій, дуже істотні на подальше.

Одне з основних питань для Декарта був у наступному: які лінії служать предметом геометрії? Відповідь визначався вірою Де карта у те, що єдиним загальним методом математики єалгебраический. Спочатку цей відповідь формулюється в кінематичнихвиражениях: геометричні лінії — це, які «описанінепреривним рухом або ж кількома такими послідовнимидвижениями.пз яких наступні цілком визначаються їмпредшествующими.— бо цим шляхом можна точно впізнати їхмеру»[6]. Навпаки, з геометрії, т. е. власне загальної математики, виключаються хутранические лінії, описувані «двома окремими рухами, між які й існує нічого спільного, що можна було б точноизмерить»[7]. Приклади механічнихлиний—спираль іквадратриса: за приклад геометричних наводяться криві,описиваемие деякимшарнирним механізмом, число ланок якого невизначено збільшувати. Цей механізм, теоретично подібнийсмезолабием запропонованимЭратосфеном в III в. до зв. е. для побудови двох середніх пропорційних, Декарт винайшов між 1619 і 1621 рр.: у третій частині «>Геометрии» показано, як з її допомогою будувати будь-яке число середніх пропорційних між двома даними відрізками

а : x1 = x1 : x2 = x2 : x3 = ... = xn : b.

Рівняння описуваних цим приладом ліній

>r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n   (n = 0,1, 2,...)

Декарт призведе ні з загальному вигляді, ні на приватних значень п.

>Кинематическое освіту ліній було відправним пунктом геометрії Декарта використовується у ній неодноразово. Звісно, дана їм під час цьому кінематична характеристика геометричних ліній як кривих, описуваних однією або кількома безперервними руху ми, послідовно визначальними одне одного, недостатньо виразна, як і і заява, що з всіх таких ліній «потрібно тільки те припущення, дві чи кілька ліній можнаперемещать вздовж одне одного й що й перетину утворюють іншілинии»[8]. Але цих твердженнях, щодо справи, Декарт передбачив вжеупоминавшуюся важливу теорему англійського вченого А. Кемпі (1876), зі гласно якої у вигляді пласких шарнірних механізмів можнаописать дуги будь-яких алгебраїчних кривих і не можна описати жодної трансцендентной. Свій кінематичний спосіб розподілу ліній нагеометрические і механічні Декарт відразу ж наділяє на більш яснуаналитиче скую форму й тут-таки пропонує класифікацію перших. «Усі крапки ліній,— пише він,— які може бути геометричними, т. е. підходящих під якусь точну і встановлює певну міру,обязательно перебувають у деякому відношенні всім точкам прямий лінії, що може бути виражено деяким рівнянням, у тому для всіх точок даноїлинии»[9]. У

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація