Реферати українською » Математика » Лекції (1-18) по мат. аналізу 1 семестр


Реферат Лекції (1-18) по мат. аналізу 1 семестр

Страница 1 из 3 | Следующая страница

З усіх питань і з подальшому поповненню лекцій звертатися на ящик

>van_>mo_>mail@>mtu-net.>ru чи стільниковий:

8-901-7271056 запитати Іванка

>екция №1

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: вівторок, 5 вересня 2000 р.

Тема: Запровадження


Умовні позначення:

: - отжеdef – з визначення

– включає ’’’ – [>dn>f(x)]/dxn=(>d/dx)([dn-1>f(x)]/dxn)

- слід, виконується

- тоді й тільки тоді

- будь-який

- існує

] – нехай

! – єдиний

[x] – ціла частина

~ - еквівалентно

про - мале

Усі R представляють десяткової дробом.

Усі >Q представляють кінцевої дробом, або періодичної дробом.

Усі ірраціональні числа представляють безкінечною десяткової дробом ( не періодичної).


Розглянемо числову вісь.Числовая вісь – спрямована пряма з завваженої точкою і відзначеним масштабом.

x



0 – відпо-відає нуль.

Відтинок [0;1] відпо-відає одиницю

Одиниця за одиницю.

Кожній точки x на числової прямий відповідає деяке дійсне число. Якщо довгі відрізків [0;x] з заданого масштабу порівнянні, тоді числу x відповідає раціональне число. Не порівнянні, то ірраціональні.

КожномуR відповідає точка на числової прямий і навпаки, кожній точці відповідає R.

Основні числові безлічі.


x

Відтинок: [/////////] x

a b

Позначається [>a;b] ab

Приватний випадок відрізка точка

Або axb – як нерівності.


x

Інтервал: (/////////) x – безліч точок на числової прямий.

a b

Позначається (>a;b) або у вигляді нерівності a

x

>Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Позначається: [>a;b) axb

(>a;b] ab

Усе це числові проміжки.


Зауваження: одне із кінців ( а чи b) то, можливо символом .


x

///////////////] x (-;b] чи -b

b


x

///////////////) x (-;b) чи -

b

Уся числова пряма – R=(-;+)


Околиці.

Визначення: > –околицею числа а називається безліч чиселx задовольняють нерівності

a->x-a (////////) x Про>(а)

>0а- аа+


Про>(>а)={xR:>x-a<ε}


>Проколотая > околиця – Про>(але це багато тих чисел які включають R, і відстає від крапки над і належить а.

Про>(>а)={xR:0<>x-a<ε}

(////////) x

а- аа+


Права поло околиця точки а: Про+>(>а)={xR:ax

///////) x

aa+

>Проколотая права поло околиця точки а: Про>(>а)={xR:aа.


Ліва поло околиця точки а:O->(>a)={xR:>a-a}

(//////// x

a- a


>Проколотая, ліва поло околиця точки а: Про->(>а)={xR:>a-а.


Модуль реалізувати основні нерівності.


x;x>0

x= 0;x=0

-x; x<0


|x| -hh >x>h

h>0 x<-h


  1. а,b R: |ab|>a|+|b|

  2. а,b R: |>a-b|||>a|-|b||

Можна розглядати околиці нескінченності:

Про>(+)={xR:>x>} (////////// x

>0

Про>(-)={xR:x<-ε} ///////////) x

>0 -> 0


Про>()={xR:x>>} \) (////// x

x>;x<-ε -ε ε


Функція.Монотонность. Обмеженість.

x – називається незалежної перемінної.

у – залежною.

Функцію можна ставити рівністю (>у=х2)

Таблицей

Х

Х1

Х2

Х3

Х4

У

У1

У2

У3

У4

Графиком, тобто безліччю точок з координатами (>x,f(x)) на площині:


Визначення >f(x) монотонності: Нехай Х належить області визначення D ( ]xD)

Нехай Х підмножина у сфері визначення вf(x).

Функціяу=f(x) називається:

  1. >Возрастающая на Х, для будь-якого x1;x2 належать Х: x12>f(x1)2)

  1. >Убивающий на Х, для будь-якого x1;x2 належать Х: x12>f(x1)>>f(x2)

3) Не регресний на Х, для будь-якого x1;x2 належать Х: x12>f(x1)>f(x2)

  1. Не зростаюча на Х, для будь-якого x1;x2 належать Х: x12>f(x1)>f(x2)

Визначення:

Обмеженість. Нехай Х включає Dy=f(x) називається:

  1. Обмеженої згори на Х якщо є У, отож у будь-якого x належить Х виконуєтьсяxR

  2. Обмеженої знизу на Х якщо є Однак що з будь-якого x належить Х виконується Аx

  3. Обмеженої і зверху і знизу на Х якщо єА,В, отож у будь-якого x належить Х виконується АxУ, чи існує З, отож у будь-якого x належить Х виконуєтьсяxЗ


Лекція №2

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: вівторок, 12 вересня 2000 р.

Тема: Функції


Визначення (складна функція):

Нехай поставленоD,E,G,C,R

На D:y=f(x) із ділянкою значення E

На E:z=g(y) із ділянкою значення G

Тоді на безлічі D визначено складна функціяz=g(f(x)) із ділянкою значення G. Тоді кажуть, щоg(f(x)) є суперпозиція функційg,f.


Приклад: Приклад

>z=sin ex w=arctgcos e>xx->ln x

>y=ex=>f(x)

>z=siny=g(y)

D=R

E=R+

>G=[-1;1]


Визначення (зворотної функції):

Нехай існуєD,E,C,R

На D:y=f(x) із ділянкою значень Є. Якщо кожного у зy=f(x) знайдеться єдинийx, то кажуть, що у безлічі Є задана функція зворотна до функціїf(x), із ділянкою значень D. Інакше кажучи дві функціїy=f(x) іx=g(y) є взаємно зворотними якщо виконується тотожності:


y=f(g(y)), yEy=f(g(y)), нічого для будь-якого уЄ

x=g(f(x)), xDx=g(f(x)), нічого для будь-якого xD


Приклади:

>1)y=x3 x=3y

D=R

E=R


>2)y=x2 x=y

D=R+ {0}=[0;+)

E=[0;+)

D=R- {0}=(-;0]

E=[0;) x=-y


>3)y=sinx

D=[-/2;/2]

>E=[-1;1]

>x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]




Нехайy=f(x)

>D=[a;b]

>E=[A;B]


Визначення:y=f(x), nN

a1=>f(1)

a2=>f(2)

an=>f(n)

{an} – безліч значень силовий послідовності nN чи аn

n}={>1,1/2,1/3,…,1/n,…}

аn=>1/n

n}={>sin1;sin2;sinn}

аn=>sinn

аn=(-1)n/n


{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}


Обмежені послідовності.

  1. Обмежена згори, тобто існує У отже аnУ, нічого для будь-якого nN

  2. Обмежена знизу, тобто існує Однак що Аbn, нічого для будь-якого nN

  3. Обмежена, тобто існуєА,В отже АаnУ, нічого для будь-якого nN існуєС>0 отже аnЗ, нічого для будь-якого nN.


>Монотонние послідовності

  1. зростаюча ann+1, nN

  2. убутна an>an+1, nN

  3. не зростаюча anan+1, nN

  4. не убутна anan+1, nN


Межі послідовності.

Визначення: числа а , називається межею числової послідовності аn, для будь-якого як завгодно малої кількості>0, знайдеться натуральний номер N такий, що з всіх чисел nN виконується модуль різниці an-a >>0 N : nN an-a<ε.

Починаючи від цього номери N все числа цієї послідовності потрапляють у околиця числа а. Інакше кажучи починаючи з номери N поза інтервалуа-;а+ може бути трохи більше кінцевого числа членів послідовності.


>Lim an=0

n


Приклади: Довести, щоln(-1)2/>n=0

Поставимо будь-яке>0, хочемо щоб (-1)n-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε >n>1/

>N=[1/]+1

=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|<0.01, если n101

* * *

an=>1-1/n2

>lim(1-1/n2)=1

n+

Для будь-якого>0 (>1-1/n2)-1

->1/n2 >1/n2 n2>>1/ >n>1/>

>N=[1/>]+1


Лекція №3

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: середовище, 13 вересня 2000 р.

Тема:Последовательности


Нескінченно малі послідовності


Послідовність аn називається нескінченно малої , це, що межа цієї послідовності після дорівнює 0.

an – нескінченно мала >lim an=0 тобто нічого для будь-якого>0 існує N, таке що з будь-якогоn>N виконується

n+

an

Важливі приклади нескінченно малої послідовності:

1)n=>1/nДокажем, що з будь-якого>0 >1/n >1/n<ε >n>1/ >N[1/]+1

>Докажем, щоlim1/n=0

n+

2) n=sin(1/n).Докажем, що з будь-якого>0 >sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1>sin(1/n)>0, отжеsin(1/n)<ε

Отже1/n >n>1/arcsinN=[1/arcsin]+1.Докажем, щоlimsin1/n=0

n+

3) n=>ln(1+1/n)

n0;1/n;1+1/n1

>limln(1+1/n)=0

n+

>Докажем >ln(1+1/n) >ln(1+1/n)<ε >1+1/n>

>1/n>-1

>n>1/e>-1 >N=[1/e>-1]+1


  1. n=>1-cos(1/n)

>lim(1-cos(1/n))=0

n+

>Докажем >>0 >1-cos(1/n)

>1/n першої чвертіcos першої чверті позитивний 0 >1-cos(1/n)<ε

>cos(1/n)>1- (вважаємо, що 0<ε<1)

>1/n >n>1/arcos(1-)

>N=[1/arcos(1-)]+1

Властивості нескінченно малої послідовності.


Теорему. Сума нескінченно малої є нескінченно мале.

nnнескінченно мале n+n – нескінченно мале.

Доказ.

>Дано:

n- нескінченно мале >>0 N1:n>N1 n

n- нескінченно мале >>0 N2:n>N2 n

ПоклавшиN=max{N1,N2}, для будь-якогоn>N одночасно виконується обидва нерівності:


nn+nn+n<ε+ε=2ε=ε1>n>N

n


Поставимо >1>0, між іншим=1/2. Тоді нічого для будь-якого1>0 >N=maxN1N2 : >n>N n+n1 >lim(n+n)=0, то

n

є n+n – нескінченно мале.


Теорему Твір нескінченно малого є нескінченно мале.

n,n – нескінченно мале nn – нескінченно мале.

>Докозательство:

Поставимо >1>0, між іншим=>1, оскільки n і n – нескінченно мале при цьому>0, те знайдеться N1: >n>N n

N2: >n>N2 n

ВізьмемоN=max {N1;N2}, тоді >n>N = n

n

nn=nn2=>1

1>0 N:>n>N nn2=>1

>lim nn=0 nn – нескінченно мале, що потрібно було довести.

n

Теорему Твір обмеженою послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність

аn – обмежена послідовність

n –нескінченно мала послідовність ann – нескінченно мала послідовність.

Доказ: Оскільки аn – обмежена >С>0: nN anЗ

Поставимо >1>0; між іншим=1/З; оскільки n – нескінченно мала, то>0N:>n>N n ann=ann>1/>C=1

>1>0 N: >n>N ann=>C=1 >lim ann=0 ann – нескінченно мале

n


Зауваження: як обмеженою послідовності так можна трактуватиconst твір постійно.

Теорему про уявлення послідовності має кінцевий межа.


>lim an=a an=a+n

n+

Послідовність an має кінцевий межа а тоді й тільки тоді, коли він представленій у вигляді an=a+n

де n – нескінченно мала.

Доказ:

>lim an >>0N:>n>N an-a<ε. Положим an-a=n n<ε, >n>N, тобто n - нескінченно мала

n+

an=a+n що потрібно було довести

Доказ (зворотне): нехай an=a+n, n – нескінченно мала, тобтоn=an-a >>0 N: >n>N

n=an-a<ε, то есть lim an

n+

>Теореми межі числових послідовностей.

  1. Теорему про межі суми:

Нехайlim an=alim bn=b >lim an+n=>a+b

n+ n+ n+

>Докозательство: an=a+n bn=b+n Додаймо an+bn=>a+b+n+n=>a+b+n >lim an+bn=>a+b

n+

2) Теорему про твір меж:

Нехайlim an=alim bn=b >lim anbn=>ab

n+ n+ n+

Доказ: an=a+n bn=b+n anbn=(a+n)(b+n) anbn=>ab+an+bn+nn=>ab+n >lim anbn=>ab як і

n+

вимагалося довести.

  1. Теорему про межі приватного

Нехайlim an=alim bn=b b0lim an/bn=>a/b

n+ n+ n+

Доказ: an=a+n bn=b+n оскільки b0, то N1: >n>N1bn0

>bn

0 (////////b/////////) x

an/bn=an/bn->a/b+a/b=a/b+(ban->abn)/>bbn=>a/b+[b(a+n)->a(b+n)]/>b(b+n)=>a/b+n/>b(1+bn/b)

>lim an/bn=>a/b

n+


Лекція №4

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: понеділок, 19 вересня 2000 р.

Тема: Нескінченно великі послідовності .


аn=(-1)n – немає межа.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – межа немає.


Нескінченно великі послідовності.

an=2n

N:>n>N an>>

bn=(-1)n2n

N:>n>N bn>>

зn=-2n

N:>n>N зn<-ε

Визначення (нескінченно великі послідовності)

1)lim an=+, якщо >>0N:>n>N an>> де- як завгодно мале.

n

>2)lim an=-, якщо >>0 N:>n>N an<-ε

n+

3)lim an= >>0 N:>n>N an>>

n+

Послідовністю має кінцевий межа називаютьсходящимися. Інакше послідовність називають що розходяться. У тому числі є послідовності, які розсуваються в різні нескінченність. Про неї говоримо, що вони теж мають нескінченний межа.

Доказ:

an=2n

>Берем >>0; хочемо 2n>>

>n>log2>

>N=[log2>]+1

Правило формування зворотного затвердження: треба змінити місцями значки і , а знак нерівності на додатковий.

Приклад:

Твердженняlim an=a< aR >>0 NN:n>N an-a

n

Протилежне твердження aR >>0 NN: n>N an-a


Будь-яка нескінченно велика не обмежена. Протилежне твердження не так.

bn{2;0;2n;0;23;0….}

Теорему (про обмеженоюсходящейся послідовності)

Нехай >lim an=a< an - обмежена

n+

Доказ:

>Дано:

>>0N:>n>N an-a

Якщо >>0 візьмемо=1 N:>n>N an-a<1

>a-1nn>N

Цьому нерівності може бути задовольняти лише N члени послідовності.

N1=>max{a1;a2;…an;>1+a;>a-1}

anз, n>N


Теорему (про єдність краюсходящейся послідовності).

Якщо >lim an=a <, то а- єдине.

n+

>Доказательство:(от супротивного)

Припустимо, що b:lim an=b і ba=b-a/2>0 для визначеності нехайb>a N1:>n>N1 an-a

n+

N2:>n>N2 an-b<ε N=max{N1;N2}, тоді обидва нерівності виконуються одночасно

-(>b-a)/2n-a<(b-a)/2

-(>b-a)/2n-b<(b-a)/2

an-a<(b-a)/2

-

an->b>-(b-a)/2

>b-a

0<0 – противоречие припущення, щоb>a не так. Аналогічно доводиться, що b

Зв'язок між нескінченно великими і малими величинами.

Теорему:

>1)an- нескінченно велика >1/an – нескінченно мала

2)т – нескінченно мала, n0 (>n>N0) 1/n – нескінченно велика

Доказ:

>1)an- нескінченно велика >lim an= для досить великих номерів n an0. Поставимо будь-яке скільки

n+

завгодно мале>0, між іншим=1/>0

Для N1:>n>N1 an>>, тобто an>>1/N=max{N1;N0}

Тоді >n>N 1/an<ε, то есть lim 1/an=0, тобто1/an – нескінченно мале

n+

2)n – нескінченно мале >limn=0

n+

>Дано: n0,n>N0 поставимо >>0 між іншим=1/>0

N1:>n>N1 n<ε=1/ε

>N=max{N0;N1}: >n>N 1/n=, тобто 1/n – нескінченно велика.

Основні теореми про існування краю послідовності.

Теорему >Вейрштрасса:

Нехай an- обмежена імоннатонна. Тоді >lim an=а<

n+

>Лемма. Середнє арифметичне чисел більше від середнього геометричного. Рівність досягається лише коли все числа рівні.


Л

З усіх питань і з подальшому поповненню лекцій звертатися на ящик

>van_>mo_>mail@>mtu-net.>ru чи стільниковий:

8-901-7271056 запитати Іванка

>екция №5

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: вівторок, 25 вересня 2000 р.

Тема: Нескінченно великі послідовності


Теорему:

>lim(1-1/n)n=>1/ee=2,7183

n+

0an=>1-1/n1 nN, тобто an=(>1-1/n)n- обмежене.

n+1an=n+1(>1-1/n)n1=n+1(>1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n>1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

n+1(>1-1/n)n<1-1/n+1

(>1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1

ann+1 nN послідовність зростає й обмежена.

(>1-1/n)n – має кінцевий межа

>lim(1-1/n)n=>1/e

n+

Слідство

>lim(1+1/n)n=e

n+

>lim1/(1+1/n)n=(>n/n+1)n=[>1-1/(n+1)]n+1/ [>1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

n+

>lim[1/(1+1/n)n]=>1/e

n+

>lim(1+1/n)n=e

n+

Визначення під послідовності

Нехай дана an поставимо довільний набір натуральних чисел таких, що

n123<…>k<….

a>n1,a>n2,…,a>nk,…

Отримана послідовність називається під послідовністю і схожою послідовності.

an=(-1)n

{an}={-1;1;-1;1….}

n1=>2;n2=>4,….,n>k=>2k

{a>nk}={1,1,1,1…}

Теорему

Нехай послідовність an сходиться, тодіпослідовності

lim an=a {a>nk} – затухав іlim

n+

>lim a>nk=0

n+

Доказ оскільки an – сходитися, то >>0 N: >n>N an-a

a>nk; n>k>N тобто a>nk-a

Приклад

an=(-1)n – немає краю

{a2n}={1,…,1,…,}

{a2n-1}={-1,….,-1,…}

мали б той самий межа.

Межа функції.

Визначення

Нехайy=f(x) визначена уO(x0). Ми говоримо, що функціяf(x) має межа в при xx0 якщо >>0 >0

>x:0<>x-x0< >f(x)-b

>limf(x)=b

xx

Через околиці визначення записується так

>>0>0 x0(x0)>f(x)0>(b)

Якщоlimf(x)=0, тоf(x) зв нескінченно малої при xx0.

xx

Зауваження. Необхідно зазначити якому саме процесіf(x) нескінченно мале. Треба вказати якого числу а.

>f(x)=x-1

>1.x1lim(x-1)=0, тобтоy=x-1 нескінченно мале при x1

x1

>2.x2lim(x-1)=1, тобтоy=x-1 перестав бути нескінченно малої при x2

x1

Приклад

>f(x)=2x+1 x1

>Докажемlim(2x+1)=3

x1

>>0>0 >x:0<>x-1< (>2x+1)-3

(>2x+1)-3

|>x-1<ε/2

x1

Поклавши =>/2

Теорему про нескінченно малому

1)(x);(x) – нескінченно мале xx0 (x)+(x) – нескінченно мале при xx0

2)(x);(x) – нескінченно мале при xx0

>3)Еслиf(x) – обмежене вO(x0) і (x) – нескінченно мале при xx0, тоf(x);(x) – нескінченно мале при xx0

Доказ (3)

Оскількиf(x) – обмежене вO(x0), то >С>0: x>O(x0)|>f(x)З;

Оскільки (x) – нескінченно мале при xx0, то >>0 >0 x: 0<>x-x0< (x)>1>0

Поклавши=1

>0 x: 0<>x-x0|< >f(x)(x)=>f(x)>a(x)1 >limf(x)(>x)=0, тобтоf(x)a(x) – нескінченно мале при xx0

xx

Лекція №6

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: середовище, 26 вересня 2000 р.

Тема: Чудові межі


Теорему

>f(x)>g(x) вO(x0) і >lim (>f(x))=b і >lim (>g(x))=c. Тоді bз

xx xx

Доказ:

Розглянемо функцію (>x)=f(x)-g(x)>0 вO(x0) >lim ((x))=lim (>f(x)) -lim (>g(x))=b-c і з попередньої

xx xx xx

теоремиb-c0, тобто b0 що потрібно було довести.


Теорему

>f(x)(x)>g(x) x>O(x0) і >lim (>f(x))=b і >lim (g (>x))=b. >lim ( (>x))=b

xx xx xx

Доказ:

>f(x)=b+(x)

>g(x)=b+(x)

де (x) і (x) – нескінченно малі при xx0

b+(x)(x)b+(x)

Оскільки (x) і (x) – нескінченно малі то >>0 1>0: x>O1(x0) (x)

2>0: x>O2(x0) (x)

Поклавши =>min{1;2}

Тоді x>O(x0) (x)

(x)

-><(x)<ε

-><(x)<ε

>b-(x)(x)b+(x)

-><(>x)-b<ε

(>x)-b x>O(x0)

>0 =>min{1;2} (>x)-bx>O(x0) тобтоlim ( (>x))=b

xx

Перший чудові межі.

>Терема >lim (>sin(x)/x)=1

x0

Доказ:

P.S>OMN=1/2sin(x)

P.Sсік>OMN=>1/2(x)

P.S>OKN=1/2tg(x)

P.S>OMNсік>OMN< S>OKN

>1/2sin(x)<1/2(x)

>sin(x)

1

lim (>1-cos(1/n))=0

n+

lim (>1-cos(x))=0 >lim (>cos(x))=1

x0 x0

lim (>x/sin(x))=0

x0

>x>0

lim (>x/sin(x))=1

x0

lim(1/(x/sin(x)))=lim(sin(x)/x)=1 що потрібно було довести

x0 x0

Визначення нескінченного краю і меж при x+.


>lim (>f (x))=+ >>0 >0: x>O(x0)>f(x)>O>(+)

xx

(x): 0<>x-x0<

(////////// x

>



>lim (>f (x))=- >>0 >0: x>O(x0)>f(x)>O>(-)

xx

(x): 0<>x-x0<



>lim (>f (x))= >>0 >0: x>O(x0)>f(x)>O>()

xx

>f(x)>>




>lim (>f (>x))=b >>0 ∆>0: x>O(+)>f(x)>O>(b)

x+

x: x>>f(x)-b



>lim (>f (>x))=b >>0 ∆>0: x>O(-)>f(x)>O>(b)

x-

x: x<-∆ >f(x)-b


Односторонні межі.

Визначення

>f(x) визначена уO+(x0)

>lim (>f (>x))=b >>0 >0: x>O+(x0)>f(x)>O>(b) x00+

xx+0



Визначення

>f(x) визначена уO-(x0)

>lim (>f (>x))=b >>0 >0: x>O-(x0)>f(x)>O>(b) x0-0

xx-0


Теорему Нехайf(x) визначена уO(x0) Щоб істота-

вал межа >lim(f(x))=b >lim(f(x))=lim(f(x))=b

xx xx+0 xx-0

Нехай >lim(f(x))=b, тобто >>0 >0: x>O(x0)>f(x)>O>(b)f(x)>O(b) для x>O+(x0) й у x>O-

xx

x>O-(x0) >lim(f(x));lim(f(x))=b що потрібно було довести.

xx+0 xx-0

Другий чудовий межа.

Теорему >lim(1+1/x)x=e

x+

Доказ: Нехай n – ціла частина x –n=[x] nx

[>1+1/(n+1)]n(>1+1/x)x(>1+1/n)n+1

Якщо x+, то n+

[>1+1/(n+1)]n+1>1/[1+1/(n+1)](>1+1/x)x(>1+1/n)n(>1+1/n) >lim(1+1/x)x=e

x+


Лекція №7

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: вівторок, 3 жовтня 2000 р.

Тема: Порівняння нескінченно великих коштів і нескінченно малих.


Визначення.

Нехай (x) і (x) – нескінченно малі при xx0 ()

  1. (x) ~ (x) при xx0 () якщоlim (x)/(>x)=1 xx0 ()

  2. (x) і (x) однакового порядку при xx0 () якщоlim (x)/(>x)=с0 xx0 ()

  3. (x) нескінченно мале вищого порядку дрібниці ніж(x) при xx0 () якщоlim (x)/(>x)=0 xx0 ()


Визначення.

Нехайf(x) іg(x) – нескінченно велике при xx0 ()

1)f(x) ~g(x) при xx0 () якщоlimf(x)/g(x)=1 xx0 ()

>2)f (x) і g (x) нескінченно великі однакового порядку зростання, якщо xx0 () якщоlimf(x)/g(x)=с xx0 () <

Зокрема, якщос=1, всі вони еквівалентні

  1. >f (x) нескінченно велике нижчого порядку зростання ніж g (x) чи інакшеg(x) нескінченно велике вищого порядку зростання ніжg(x) при xx0 () якщоlimf (>x)/g (>x)=0 xx0 ()

Приклади:


  1. >sin(x) – нескінченно мале

x при xx0 – нескінченно мале

Порівняємо їхlimsin(x)/x=1 >sin(x)~x

x0

при x0



  1. >1n(1+x) – нескінченно мале

x при x0 – нескінченно мале

Порівняємо їх >limln(1+x)/x=limln(1+x)1/x =1

x0 x0

>ln(1+x) ~ x, при x0



  1. x2 – нескінченно великі

2+1, при x+ – нескінченно великі

Порівняємоlim x2/(>2x2+1) =lim x2/x2(>2+1/x2)=1/2

x+ x+

тобто функція є нескінченно великий і

однакового порядку. Зауваження: якщо жодну з

функцій однакового порядку зростаннядомножить на

однаковуconst, всі вони стануть еквівалентні.

Визначення:

  1. нехай (>х)=о(x) – нескінченно мале при xx0(). Те говоримо, що (x) і (x) при xx0 (), якщо (x)=(x)(x), нескінченно мале при xx0 (). Інакше кажучи - (x) – нескінченно мале вищого порядку, ніж (x) така як (x)/(x)=(x) – нескінченно мале, тобтоlim (x)/(>x)=0 x0 ()

  2. нехайf(>х)=оg(x) – нескінченно велике при xx0(). Те говоримо, щоf(x) і g (x) при xx0 (), якщоf (x)=(>х)g (x). Інакше кажучи -f (x) – нескінченно велике нижчого порядку, ніжg(х) оскількиf(х)/g (x)=(x) – нескінченно мале, тобтоlimf (>x)/g (>x)=0 x0 ()

Шкала нескінченності.

Статечні нескінченності.

xn=>o(x>m), 0+. Із двох статечнихбесконечностей сильніше та, що має показник ступеня більше.

>Докажем:

xn=x>m(xn/x>m)=x>m(>1/x(>m-n))=x>m(x)m-n>0 x>m(x)>o(x>m)

>Показательние нескінченності.

аx=>о(bx), 1+. Із двох показовихбесконечностей сильніше та, що має підставу більше.

>Докажам

ax=ax(bx/bx)=ax(>a/b)x=bx(x>o(bx) (0

>Логарифмическая нескінченність

>ln(x)=o(x), >0.Логарифмическая нескінченність слабше будь-який статечної нескінченності.

>ln(x)x

>limln(x)/x=>lim [(>ln(x)/(x/2x/2))((/2)/(/2))]=

x0 x0

>lim [(>ln(x)/x/2)(2/(x/2)]

x0

Твір нескінченно малих на обмежену

одно нескінченно малої.

>lim (>ln(x)/x)=0 (>lim(x))/x=(x) >ln=x(x)>ox,

x0

x+

Показова і статечний.

X>k=>o(ax), >k>0,a>1 x+ >lim(x>k)/(ax)=0

x+

Теорему: Нехай (x) ~ 1(x) при xx0 ()

(x) ~ 1(x) при xx0 ()

Тодіlim (x)/(>x)=lim 1(x)/1(x)

x>x0 () x>x0 ()


Доказ:

>lim(x)/(>x)=lim[(x)1(x)1(x)]/[1(x)1(x)(>x)]=lim((x)/(>x))lim(1(x)/(>x))lim(1(x)/1(>x))=lim 1(x)/1(x) що

x0 x0 x0 x0 x0 x0

і було довести. Зауваження: аналогічне твердження справедливо обох нескінченно великих.

Приклад:

>limsin(x)/3x=limx/3x=1/3

x0 x0

Визначення: (головного доданка)

1(x)+2(x)+…+n(x), при xx0 ()

Головним доданком у цій сумі називається то складова проти яким інші складові є нескінченно малими вищого порядку дрібниці чи нескінченно великі нижчого порядку зростання.

1(x) – головне складова, якщо 2(>х)=о(1(x)),…,n(>x)=o(1(x)) при xx0 ()

Кінцева сума нескінченно малих еквівалентна своєму головномуслагаемому:

1(x)+2(x)+…+n(x) ~ 1(x) , при xx0 () якщо 1(x) – головне складова.

Доказ:

>lim [1(x)+2(x)+…+n(x)]/1(>x)=lim[1(x)+1(x)(x)+…+1(x)(x)]/1(>x)=lim[1(>x)(1+1(x)+…+n(x))]/1(>x)=1 xx0 () xx0 () xx0 ()

Приклад:

>lim (ex+>3x100+>ln3x)/(2x+>1000x3+>10000=lim ex/2x=>lim ex/(ex(x))=+

x+ x+ x+

2x=>o(ex)ex(x)

Основні еквівалентності.

ex-1 – нескінченно мале при x0.lim (ex->1)/x=1, тобто ex-1 ~ x при x0

x0

>1-cosx – нескінченно мале при x0.lim (>1-cosx)/(x2/>2)=lim{2sin(2x/2)]/[x2/>2]=lim [>2(x/2)2]/[x2/2]=1,

тобто


>1-cos(x) ~ x2/2 при x0 і (>1+x)>p-1 ~px при x0


Лекція №8

Провідна: Голубєва Зоя Миколаївна

Дата: вівторок, 10 жовтня 2000 р.

Тема: «>Асимптотические формули»


Формули містять символ про - називаютьсяасимптотические.


1)lim [>sin(x)/x]=1 (з визначення кінцевого краюsin(x)/x=1+(x), де (x) – нескінченно мале при x0

x0

sin(x)=x+(>x)x, де (x) – нескінченно мале при x0 >sin(x)=x+ox, при x0;sin(x)~x, при x0

2)lim [>ln(1+x)/x]=1 (з визначення кінцевого краюln(1+x)/x=1+(x), де (x) – нескінченно мале при

x0

x0 >ln(1+x)=x+(>x)x, де (x) – нескінченно мале при x0 >ln(1+x)=x+ox, при x0;ln(1+x)~x, при x0

3)lim [(ex->1)/x]=1

Схожі реферати:

Навігація