Реферати українською » Математика » Лекції перехідні в шпори Алгебра та геометрія


Реферат Лекції перехідні в шпори Алгебра та геометрія

Страница 1 из 2 | Следующая страница

1. Матриці. Термінологія і позначення.

Матрицею розміру (>mxn) називається набірmn чисел – елементівм-циAi,j, записаних як прямокутної таблиці:

Набіраi1,ai2,ain – звiтой рядкомм-ци. Набірa1j,a2j,amj –jтим стовпцем.

>М-ца розміром1хп – називається рядком, вектором;м-ца розміромmx1 – стовпцем. Якщо розмірністьпхп – матриця називається квадратної. Набір елементіва11,а22,апп утворює головну діагональм-ци. Набіра1п,а1,п-1,ап1 – побічну діагональ.М-ца всеел-ти, якої = 0 зв. нульової. Квадратнам-ца, елементи головною діагоналі якої рівні 1, проте інші – 0, називається одиничної,обозн.: Є

Матриці:А(I,j) іB(I,J) називається рівними, якщо рівні їх розміри та йогоелеме6нти в однакових позиціях збігаються.

2. Дії з матрицями

1)Сложение

Сумоюм-цА(I,j) іB(I,J) зв.м-цаС(I,J) елементи кіт,вич за такою формулою:

>Сij=Aij+Bij (>I=1…m, j =1…n)

>C=A+B (розмір всіхм-ц:mxn)

2) множенням-ци на число

Твірм-ци А = (>Aij) розміруmxn на число З називається матриця:B=(Bij) розміруmxn, елементи кіт,вич. за такою формулою:

>Вij=СAij (>I=1…m, j =1…n)

>В=СА

віднімання:

>С=А+(-)В =А-В

3) множенням-ц

>А=(Aik),B=(Bkj) – квадратнім-ци порядку n. Твором На У називаютьм-цу З= (>Сij) елементи, кітвич. за такою формулою:

>Сij =Ai1B1j+…AinBnJ

>С=АВ. Можна записати так:

Порядоксомножителей в матриці істотний: АВ не одно ВА

>Св-ва множенням-ци:

(>АВ)С=А(ВС)

>А(В+С)=АВ+АВ, (>А+В)С=АС+ВС

Твір двох прямокутних матриць існує, якщо їх внутрішні розміри (число шпальт першої, і кількість рядків другий) рівні.

3.Порядки підсумовування.Транспонированием-ци

Суму М всіх елементів квадратноїм-ци А можна визначити 2 мя способами:

1. Знаходячи суму елементів кожного шпальти і складаючи отримані суми:

2. Знаходячи суму елементів кожного рядка і складаючи ці суми:

звідси випливає, що

порядок підсумовування в подвійний сумі можна змінювати.

Матриця

називається транспонованої стосовно м-ці А=

Позначається АТ. Притранспонировании рядки переходить до стовпчики, а стовпчики у поетичні рядки і якщо А розміромmxn, то АТ буде розміромnxm

>Св-ва операції транспонування.

1 (АТ)Т

2 (>А+В)ТТТ

3 (СА)Т=САТ (>С-число)

4 (АВ)ТТТ

4. Елементарні перетворення матриці.

1Переставление двох рядків

2 Множення рядки на нерівний 0 число У

3Прибавление до рядка матриці інший її рядки, помноженою на число З.

Також виробляють елементарні перетворення шпальт.

5. Матриці елементарних перетворень.

З елементарними перетвореннями тісно пов'язані квадратні матриці елементарних перетворень. Вони бувають наступних типів:

1м-ци отримувані з одиничних шляхом перестановки двох будь-яких рядків наприкладм-ца:

отримана перестановкою 2 і 4 рядки

2 тип.м-ци отримувані з одиничної заміною діагонального елемента на довільне не нульовий число:

відрізняється від одиничної елементом У на другий рядку

3 тип відмінні лише одненедиагональним не нульовим елементом:

Основнесв-во матриць елементарних перетворень Елементарне перетворення довільній матриці рівносильне множенню цієїм-ци на матрицю елементарних перетворень

Елементарні перетворення рядківм-ци А

1 множенням-ци Нам-цу 1 типу зліва переставляє рядки з номерамиI,j

2 Множенням-ци Нам-цу другого типу зліва рівносильне множенню j рядким-ци На число У

3 поповнення доjсторокем-ци Але їїiтой рядки, помноженою на число З рівносильне множеннюм-ци Нам-цу 3 типу зліва

Елементарні перетворення шпальтм-ци А

1 множенням-ци Нам-цу 1 типу справа переставляє стовпчики з номерамиI,j

2 Множенням-ци Нам-цу другого типу справа рівносильне множенню j шпальтим-ци На число У.

3 поповнення до j стовпцюм-ци Але її I того шпальти, помноженого на число З рівносильне множеннюм-ци Нам-цу 3 типу справа.

6.Определители

З кожної квадратної матрицею пов'язане якесь число зв. визначником.

>Определителемм-ци другого порядку:

зв число:а11а22-а12а21

Визначникм-ци третього порядку:

=

=

теж можнавосп правилами трикутника:

Припустивши, що визначникм-ци порядки менший від n вже відомий, визначникм-ци порядку n дорівнюватиме:

D=a11M11-a21M21+…+(-1)n+1>an1Mn1

деМi1 – визначникм-ци порядкуn-1, їх кількість називається додатковим мінором. Такам-ца виходить з А шляхом викреслювання 1 шпальти і j рядки. Це називається розкладанням означника по 1 ому стовпцю.

число:Аij=(-1)I+1>Mij називається алгебраїчним доповненнямел-тааij вопределителе [А] з урахуваннямалгебр.допф-лу перебування означника можна записати так:

Визначник – сума попарних творівел-тов довільного шпальти з їхньої алгебраїчнийдополнитель.

  1. Властивості означника

1 Притранспонировании матриці визначник не змінюється: [AT]=[А]

звідси випливає, що рядок і стовпець рівноправні з погляду властивостей означника.

2Линейность

Якщоопределителе D I є лінійної комбінацією2-х рядків:

тодіD=fD’+lD’’

де:        

від D лишеI-тими рядками.

3Антисимметричность якщо визначник У* отримано зопр У перестановкою рядків, то У* = -У

4 Визначник матриці з цими двома однаковими рядками дорівнює 0

5 Множення рядки означника на число рівносильне множенню самого означника цього число

6 визначник з 0 рядком = 0

7 визначник, одне з рядків якого =произв інший рядки на число нерівний 0 = 0. (Кількість виноситься за визначник далі засв-ву 4)

8 Якщо до рядка означника додати іншу його рядок, помноженій у яке або число, то отриманий визначник дорівнюватиме вихідному.

9 Сума твориел-тов рядки означника наалгебр. доповнення відповідних елементів інший рядкиопр = 0

8. Зворотний матриця

Квадратна матриця зв.невирожденной, коли його визначник не дорівнює 0.

>М-ца У, отримана зневирождм-ци По правилу:

У позиціюijм-ци У поміщається число =алгебраическому доповненням-циAji,ел-тааji в м-ці А.

>М-ца У зв. союзної чи приєднаної до м-ці Проте й має такимисв-вами:

>АВ=ВА=[А]I (>I-единичная матриця)

Матриця А-1=>1/[А]В називається зворотної м-ці А. Звідси випливає рівність:

АА-1=I, А-1>А=I

>М-цу А-1 можна як рішення2х матричних рівняньАХ=I,ХА=I, де - невідома матриця.

>Произвольнуюневирожденнуюм-цу елементарними перетвореннями рядків можна навести до одиничної матриці

1 Привести до трикутникове виду

2Диагональ матриціпреобр 2 виду наводиться до рівності одиницям

3Преобразованиями 3 го типу, додаючи доп-1 рядку останню помноженій на –>а1п, ->а2п…-ап-1п, наводиться до матриці що має всеел-тип-ного шпальти, окрім останнього рівні 0 тощо. буд.

2 метод побудови зворотноїм-ци шляхом складання розширеній матриці (методЖордана)

1 складається розширена матриця, приписуючи до матриці А одиничну матрицю I такого ж порядку т. е. отримуємом-цу (>А|I) елементарнимипреобр рядківм-ца А наводиться до трикутникове виду, і потім до одиничному,полученаая дома Iм-цим-ци З – є зворотним вихідної матриці А

15. Поняття пов'язаного і вільного векторів.

Розглянемо т Проте й т. У, по що з'єднує їх відтинку можна переміщати у двох напрямах: якщо вважати А початком, а т. У –концем, одержимо спрямований відрізок АВ, і якщо т. У- початок, а т. А – кінець, то спрямований відрізок ВА. Спрямований відрізок часто зв. пов'язаними чи закріпленими векторами. Що стосується, коли початкова й кінцева точка збігаються, т. е.А=В, пов'язаний вектор зв. нульовим..

Пов'язані вектори АВ і СД рівні, якщо середини відрізків АТ й ЗС збігаються обоз:АВ=СД, відзначимо, у разі, коли т.А,В,С,Д не лежать в одній прямий це рівносильне з того що чотирикутникАВСД – паралелограм. Тому рівні пов'язанів-ри мають рівні довжини.

>Св-ва пов'язанихв-ров:

1 Кожен пов'язанийв-р дорівнює себеАВ=АВ

2 ЯкщоАВ=СД, те й СД = АВ

3 ЯкщоАВ=СД іСД=EF, тоAB=EF

Від кожної точки можна відкласти пов'язанийв-р рівний вихідному.

Вільнів-ри – ті, початкову точку яких можна вибирати довільно. чи, що те ж саме, які можна довільно переносити паралельно собі самим. Вільнийв-р однозначно визначається завданням пов'язаногов-ра АВ.

>Обоз вільнів-ри малими написом і стрілкою згори.Нуль-вектор обоз 0 зі стрілкою.

Якщо заданийв-р чи т. А,сущ рівно 1 т. У, котримАВ=а. Операція побудови пов'язаногов-ра АВ, на яку виконано це рівність називається відкладання вільногов-ра як від т. А. Пов'язанів-ри, отримані внаслідок операції відкладання рівні між собою. І однакову довжину. Довжина вільногов-ра а обоз |>f|, довжинануль-в-ра=0, Якщоа=в, те й довжини їх рівні., зворотне не так!!!.

16. Лінійні операції надв-рами

1 складанняв-ров

Нехай данов-ри: й у

від т. Про відкладемов-рОА=а, від отриманої т. А відкладемов-рАВ=в. Отриманий внаслідокв-р ВВ називається сумою векторів й у іобозн:а+в.Сложениев-ровкоммутативно:а+в=в+а. Існує дві правила побудови суми: правило трикутник і правило паралелограма.

>Сложениев-ров асоціативно, т. е. для будь-якихв-ров а, з виправ-во:

(>а+в)+с=а+(в+с),

2 Множенняв-ра на число

Вільнів-ра й у звколлинеарними, якщо що визначають їх пов'язанів-ри лежать на паралельних чи які збігаються прямих. Якщо відкластиколлинеарниев-ри й у загальної т. Про:ОА=а,ОВ=в, то т. Про, А, У лежатимуть в одній прямий. Можливі 2 випадку: т. Проте й У розташовуються з одного боку від т. Про чи з різні боки. У першому випадкув-ри й у зв однаково спрямованими, у другому – протилежно спрямованими. якщов-ри мають рівні довжини і однаково спрямовані, всі вони рівні.

Творомв-ра але в число З звв-р в, такий, що

1 довжина його |>b|=|C||a|

>2в-ри й у однаково (протилежно) спрямовані, якщоС>0 (>C<0). – М.:Обознв=Са. ПриС=0 між іншим, щоСа=0.

>Св-ва множення

1 (>С+Д)а=Са+Да

2С(Да)=(СД)а

3С(а+в)=Са+Св (Сі Д будь-якідейст. числа, й у –в-ри)

>В-р, довжина якого = 1 називається одиничнимв-ром чиортом і обоза0, його довжина |>a0|=1

Якщо а 0, тоа0 =1/|a|, є одиничнийв-р (орт) напрямив-ра а.

Протилежнийв-р (-а) –а || а, протилежно спрямованийв-ру а

>а+(-а)=0; -а= (->1)а

3 відніманняв-ров

різницеюв-ров й у звв-р з, такий, щов+с =а

а- зменшуваний, в-вичитаемий, з- різницю.

1 різницюв-ров й уявл діагоналлю паралелограма, побудованого нав-рах й у, спрямована убік зменшуваногов-ра.

Нехай й у ненульовів-ри. відкладемо їхнього капіталу від т. Про,а=ОА,в=ОВ.Углом міжв-рами й у зв. найменший кут міжв-рамиОА і ВВ

Якщо кут між й у =П/2 ців-ри звортогональними.

17. Координати і компонентив-ра

>Обозначаем в прямокутноїдекартовой системі координат позитивні напрями осейOX,OY,OZ поодинокимив-рами : і, j,k, попарноортогональними і рівними одиниці.

Знайдуться числаx,y,z, котрим:

а =xi+yj+zk (2) Цяф-ла зв. розкладаннямв-ра поорто-базису

Ців-ри називаютьсяортонормированним базисом. До кожногов-ра а розкладання поорто-базису єдино, т. е. коефіцієнтиx,y,z в розкладаннів-ра а, по векторахi,j,k визначено однозначно. Ці коефіцієнти зв координатамив-ра що збігаються з координатамиz,y,x т. А

>a={x,y,z} це, щов-р однозначно задається упорядкованим трійкою своїх коефіцієнтів

>В-риxi,yj,zk, сума яких = а, називаються компонентамив-ри а. Двав-ра й у рівні тоді й тільки тоді, коли рівні всі їх компоненти.

>Радиус-вектором в т.М(x,y,z) називається векторr=xi+yj+zk, що йде з початкукоорд т. Про в т. М

Лінійні операції надв-рами в координатах.

Маємо 2в-раа={x1,y1,z1}b={x2,y2,z2}, таких, щоа=x1i+y1j+z1k,b=x2i+y2j+xz2k

сума буде:

>a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k

>a+b={x1+x2,y1+y2,z1+z2}

при додаваннів-ров їх координати попарно складаються. Для вирахування як і.

>Са={Cx1,Cy1,Cz1}

при множенні на число, усі його координати множаться цього число.

>В-ри й уколлинеарнитогла і тільки тоді ми, якщо їх координати пропорційні.

18. Проекціяв-ра на вісь

Пряма l, з заданим у ньому напрямом називається віссю.

Завбільшки спрямованого відрізкаАв на осі l зв. число, позначуване: (АВ) і однакову довжині відрізка АВ, взятому зі знаком +, якщо напр АВсовп з напр. прямий і з знаком – а то йсовп.

>Проекциейв-ра АВ на вісь l зв величина, спрямованого відрізка СД, побудованого опусканням перпендикулярів зв-ра АВ на вісь l,обозн:Prl>AB=(СД)

Властивості проекції:

1 Проекціяв-ра АВ ні на яку вісь l = твору довжинив-ра на косинус кута між віссю і вже цимв-ром.

>Prl>AB=|AB|cosa

2 Проекція на вісь lв-раСа =>СPrlа, З-произв. число.

3 Проекція сумив-ров яку або вісь = сумі проекціїв-ров з цього ж вісь

19.Скалярноепр-ев-ра

20.Векторноепр-ев-ра

21. Змішанепр-ев-ров

22. Розподіл відрізка у плані

т М У ділить відрізок [АВ] щодо l, якщо >АМ =lАВ. Т. М розташована наАв у своїй, якщо

1 М внутрішня точка АВ, то l >0 (>случайц внутрішнього розподілу)

2М=А, l = 0

3 М лежить позаАв, l <0 (випадок зовнішнього розподілу)

Інших варіантів розташування т. М не може, і водному з вар'янтів l -1

Якщо А(>r1), B(>r2), M(>r) – точки простору й М – ділить АВ вотн l, тоді:

це співвідношення в координатної формі має вигляд: дляА(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) іM(x,y,z)

Якщо М – середина АВ, то l =>1Коордx,y,z середини відрізка АВ такі:

Якщо т А У належать площиніОХУ, тоаппликата т Проте й У і М = 0 і завдання вирішують перші 2ф-ли ,і якщо Проте й У М лежать на площині ОХ, тор першоїф-лой.

23. Нормальне рівняння прямий. Загальне рівняння прямий

Якщо узяти під площині фіксовану точку Про і якусь пряму L, то розташування прямий щодо площині визначатиметься якщо поставити відстань від нього до т. Про, т. е. довжину р відрізка ВІД, перпендикуляра з т. Про з цього пряму; і одиничний векторn0=1 – перпендикулярний прямий L і спрямований з початковій т. Про до цієї прямий.

Коли поточна т. М рухається по прямий L, радіусвектор-r змінюється отже проекція на напрямn0 буде постійної і рівної р:

це співвідношення виконується кожної точки прямий L і порушується коли т. М лежить за її межами.

Помітивши, що: це можна зробити записати так:

 (2) отриманеур-е зв. нормальним (нормованим) рівнянням прямий в векторної формі. Радіусв-рr – довільній точки прямий зв. поточним радіусв-ром прямий.

Вибравши на площиніДекартову систему координат і помістивши її початок в т. Про,в-риr,n0 можна записати так:

>n0={cosj,sinj};r={x,y}

рівняння (2) набуде вигляду:

 (3) це нормальне рівняння прямий в координатної формі, щодо прямих x і в; воноявлур-ем 1 ступеня, тим самим уДекартовой прямокутної системі всяке становище прямий визначаєтьсяур-ем 1 ступеня щодо змінних x і в правильно, і зворотне.

>УравнениеAx+By+C=0 (4) називається загальним рівнянням прямий А22 ¹ 0

якщодомножить його за постійний множникm, поклавши:

>mА=cosj,mВ=sinj,mС = -р, де:

називаєтьсянормирующим множником.

І рівняння виходить нормальним .Загальне рівняння (4) визначає пряму як безліч точок М площинідекартови координати яких задовольняють цьому рівнянню.

Нормальнийв-р прямий - всякий ненульовий (необов'язково- одиничний)в-р перпендикулярний цієї прямий. Вектор n = {>A,B} буде нормальним вектором прямий, заданоїур-ем (4), такимоборазом коефіцієнти Проте й У при поточних координатах x і в є координатами нормальногов-ра цієї прямий. Усіотсальний нормальнів-ри прямий можна отримати роботу примножуючив-р n на довільне 0 число.

24.Уравнение прямий на площині , що проходить через задану точку перпендикулярно заданому напрямку.

А, щоб знайтиур-епрЯмой L, що проходить через т. М0, заданурадиус-векторомr0={x0,y0}, перпендикулярну векторуn={A,B}, проведеморадиус-векторr={x,y} у довільній т. М цієї прямий

>в-рМ0М =r-r0 лежить прямий L, отже перпендикулярнийв-ру n, тому їх скалярнепр-е = 0

(>r-r0) n = 0 (8) рівність справедливо всім т. М що належать прямий і порушується, якщо точка на прямий не лежить.Ур-е (8)явлв-рним рівнянням вихідної прямий висловлюючи цепроизв, черезкоордв-ров одержимоур-е прямий вкоорд формі:

>A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)

25. Дослідження рівняння прямий неповніур-я прямий..

Коли б одне із коефіцієнтів А, У, Зур-яАх+Ву+С=0 дорівнює 0,ур-е зв. неповним. По виду рівняння прямий можна будувати висновки про її становищі наплоксотиОХУ. Можливі випадки:

1С=0 L:Ax+By=0 т.О(0,0) задовольняє цьому

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація