Реферати українською » Математика » Лекції з лінійної алгебри


Реферат Лекції з лінійної алгебри

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Абстрактна теорія груп


  1. Поняття абстрактної групи.

>1.Понятие алгебраїчній операції.

Кажуть, що у безлічі X визначеноалгебраїчна операція (*), якщо кожної упорядкованим парі елементів поставлене відповідність певний елемент званий їх твором.

Приклади.

  1. Композиція переміщень на безлічах є алгебраїчній операцією.

  2. Композиція підстановок є алгебраїчній операцією на безлічі всіх підстановок ступеня n.

  3. >Алгебраическими операціями будуть та звичайні операції складання, вирахування і множення на безлічах відповідно цілих, речовинних і комплексних чисел. Операція розподілу нічого очікувати алгебраїчній операцією цих безлічах, оскільки приватне не визначено при . Проте за безлічах , це завжди буде алгебраїчна операція.

  4. >Сложение векторів є алгебраїчній операцією на безлічі .

  5. >Векторное твір буде алгебраїчній операцією на безлічі .

  6. Множення матриць буде алгебраїчній операцією на безлічі всіх квадратних матриць даного порядку.

>2.Свойства алгебраїчних операцій.

  1. Операція (*) називається асоціативної, якщо .

Це властивість виконується переважають у всіх наведених вище прикладах, крім операцій вирахування ( і розподілу) та постійні операції векторного множення векторів. Наявність властивості асоціативності дозволяє визначити твір будь-якого кінцевого безлічі елементів. Наприклад, якщо , . Зокрема можна визначити ступеня з натуральним показником: . У цьому мають місце звичайні закони: , .

2. Операція (*) називається комутативної, якщо

У наведених вище прикладах операціякоммутативна в прикладах 3 і 4 ікоммутативна у решті випадках. Зазначимо, що з комутативної операції

  1. Елемент називається нейтральним для алгебраїчній операції (*) на безлічі X, якщо . У прикладах 1-6 нейтральними елементами будуть відповідно тотожне переміщення, тотожна перестановка, числа 0 і одну для складання і множення відповідно (для вирахування нейтральний елемент відсутня !), нульової вектор, одинична матриця. Для векторного твори нейтральний елемент відсутня. Зазначимо, що нейтральний елемент (коли він існує) визначено однозначно. У насправді, якщо - нейтральні елементи, то . Наявність нейтрального елемента дозволяє визначити рівень із нульовим показником: .

  2. Припустимо, що з операції (*) на X існує нейтральний елемент. Елемент називається зворотним для елемента , якщо . Зазначимо, що у визначенню . Усі переміщення оборотні як і все підстановки. Щодо операції складання все числа оборотні, а щодо множення оборотні все числа, крім нуля.Обратимие матриці - це у точності все матриці з ненульовим визначником. Якщо елемент x звернімо, то визначено ступеня з негативним показником: . Нарешті, відзначимо, що й x і y оборотні, то елемент також звернімо і . (Спочатку ми одягаємо сорочку, і потім куртку; роздягаємося ж у зворотному напрямку!).

Визначення (абстрактної) групи.

Нехай на безлічі G визначено алгебраїчна операція (*). (G ,*) називається групою, якщо

  1. Операція (*) асоціативна на G.

  2. З цією операції існує нейтральний елемент e (одиниця групи).

  3. Кожен елемент з G звернімо.

Приклади груп.

  1. Будь-яка група перетворень.

  2. (Z, +), (R, +), (З, +).

  3. >Матричние групи: -невирожденние квадратні матриці порядку n,ортогональние матриці такого ж порядку,ортогональние матриці з визначником 1.

  4. Найпростіші властивості груп.

  5. У будь-якій групі виконується закон скорочення: (лівий закон скорочення; аналогічно, має місце правий закон). Доказ.Домножим рівність зліва на і скористаємося властивістю асоціативності: .

  6. Ознака нейтрального елемента:

    ДоказПрименим до рівності закон скорочення.

  7. Ознака зворотного елемента: ДоказПрименим закон скорочення до рівності .

  8. >Единственность зворотного елемента. Зворотний елемент визначено однозначно. Слід з п.3.

  9. Існування зворотної операції. Для будь-яких двох елементів довільній групи G рівняння має до того ж єдине рішення. Доказ Безпосередньо перевіряється, що (ліве приватне елементів ) розв'язує зазначеного рівняння.Единственность випливає на закон скорочення, застосованої до рівності . Аналогічно встановлюється існування й одиничність правого приватного.

  10. >Изоморфизм груп.

    Визначення.

    Відображення дві групи G і K називається >изоморфизмом , якщо

    >1.Отображение j взаємно однозначно.2.Отображениеj зберігає операцію: .

    Оскільки відображення зворотне до j є такожизоморфизмом, запроваджене поняття симетрично щодо груп G і K , які називаються ізоморфними.

    Приклади.

    >1.Группи поворотів площини і навколо крапок і ізоморфні між собою. Аналогічно, ізоморфними будуть і групи, які з поворотів простору щодо будь-яких двох осей.

>2.Группадиедра й гарантована відповідна просторова група ізоморфні.

  1. Група тетраедра T ізоморфна групі що з парних підстановок четвертого ступеня. Для побудови ізоморфізму досить занумерувати вершини тетраедра цифрами 1,2,3,4 і зауважити, кожен поворот, який поєднуєтетраедр з собою певним чином переставляє його вершини і, отже, задає деяку підстановкумножества{1,2, 3, 4} Повороти навколо осі, що проходить через деяку вершину (наприклад 1), залишає символ 1 дома і циклічно переставляє символи 1, 2, 3. Усі такі перестановки - парні. Поворот навколо осі, що з'єднує середини ребер (наприклад, 12 і 34 ) переставляє символи 1 і 2 , і навіть 3 і 4. Такі перестановки також є парними.

  2. Формула визначає взаємно однозначне відповідність між безліччю R речовинних чисел і безліччю позитивних чисел. У цьому . Це означає, щоизоморфизмом.

Зауваження. У абстрактної алгебрі ізоморфні групи прийнято вважати однаковими. Фактично це, що ігноруються індивідуальні властивості елементів групи і походження алгебраїчній операції.

  1. Поняття підгрупи.

>Непустое підмножина називаєтьсяпідгрупою, якщо саме є групою. Докладніше це, що , і .

Ознака підгрупи.

>Непустое підмножина буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли .

Доказ.

У один бік це твердження очевидно. Нехай тепер - будь-який елемент. Візьмемо в ознаці підгрупи. Тоді одержимо . Тепер візьмемо . Тоді одержимо .

Приклади підгруп.

  1. Для груп перетворень нове давню поняття підгрупи рівнозначні між собою.

  2. - підгрупа парних підстановок.

  3. тощо.

  4. Нехай G - будь-яка група і - будь-який фіксований елемент. Розглянемо безліч різноманітних ступенів цього елемента. Оскільки , аналізованих безліч є підгрупою. Вона називається циклічною підгрупою з що створює елементом g .

  5. Нехай будь-яка підгрупа Розглянемо безліч - >централизатор підгрупи H групи G. З визначення випливає, що й , то , тобто . Тепер зрозуміло, що й , те й і отжецентрализатор є підгрупою. Якщо група Gкоммутативна, то . ЯкщоG=H, тоцентрализатор складається з тих елементів, якіперестановочни з усіма елементами групи; у разі вона називаєтьсяцентром групи G і позначаєтьсяZ(G).

Зауваження проаддитивной формі записи групи.

Іноді, особливо коли операція групикоммутативна, вона позначається (+) і називається складанням. І тут нейтральний елемент називається нулем і задовольняє умові:g+0=g. Зворотний елемент у разі називається протилежним і позначається (-g). Ступені елемента g мають виглядg+g+...+g , називаються кратними елемента g і позначаютьсяng.


Абстрактна теорія груп

(продовження)


  1. Реалізація абстрактної групи як групи перетворень.

Є кілька способів пов'язати з даної абстрактної групою деяку групу перетворень. Надалі, а то й обумовлено гидке, знак алгебраїчній операції в абстрактної групі опускатиметься.

Якщо якась підгрупа.

А) До кожного визначимо відображення (лівий зрушення на елемент h) формулою .

Теорему 1

  1. БезлічL(H,G)= є групою перетворень безлічі G.

  2. Відповідність: єизоморфизмом груп H іL(H,G).

Доказ.

  1. Треба перевірити, що відображення взаємно однозначно будь-кого . Якщо , то закону скорочення. Отжеинъективно. Якщо будь-який елемент, те й тож до до того ж ісюръективно.

  2. Означимо через · операцію композиції групиSym(G) взаємно однозначних відбиття . Треба перевірити, як і . Нехай будь-який елемент. Маємо: ; і отже, .

  3. Нехай . Треба перевірити, що l взаємно однозначне й зберігає операцію. За побудовою lсюръективно.Инъективность випливає на закон правого скорочення: . Збереження операції фактично було встановлено вище: .

Слідство.

Будь-яка абстрактна група ізоморфна групі перетворень деякого безлічі (Досить взятиG=H і розглянути ліві зрушення).

Для випадку кінцевих груп виходить теоремаКели:

Будь-яка група n елементів ізоморфна підгрупі групи підстановок ступеня n.

  1. До кожного визначимо відображення (правий зрушення на елемент h) формулою .

Теорему B.

  1. .

  2. Безліч є групою перетворень безлічі G.

  3. Відповідність єизоморфизмом груп H іR(H,G).

Доказ теореми B цілком аналогічно доведенню теореми A. Зазначимо лише, що . Саме у пункті 3 теореми У з'являється не , а .

З) До кожного визначимо (поєднання чи трансформація елементом h ) формулою .

Теорему З.

  1. Кожне відображення єизоморфизмом групи G з собою (>автоморфизмом групи G).

  2. Безліч є групою перетворень безлічі G.

  3. Відображеннясюръективно і зберігає операцію.

Доказ.

  1. Оскільки , відображення взаємно однозначно як композиція двох відбиття подібного типу. Маємо: і тому зберігає операцію.

  2. Треба перевірити, як і . Обидва рівності перевіряються легко.

  3. >Сюръективность відображення має місце з визначення. Збереження операції було вже перевірено у пункті 2.

Зауваження проинъективности відображення >q.

У випадку відображення >q перестав бутиинъективним. Наприклад, якщо група Hкоммутативна, перетворення будуть тотожними і велика група тривіальна. Рівність означає, що або (1) У зв'язку з цим зручно запровадити таке визначення: безліч називається>централизатором підгрупи . Легко перевірити, щоцентрализатор є підгрупою H. Рівність (1) означає, що . Звідси випливає, що якщоцентрализатор підгрупи H в G тривіальний, відображення >q єизоморфизмом.

  1. >Смежние класи; класи пов'язаних елементів.

Нехай, як і від, деяка підгрупа. Реалізуємо H як групуL(H,G) лівих зрушень на групі G. Орбіта називаєтьсялівим суміжним класом групи G по підгрупі H. Аналогічно, розглядаючи праві зрушення, дійшли правим суміжним класам .Зауважимо, що стабілізаторSt(g,L(H,G)) (як іSt(g,R(H,G)) ) тривіальний оскільки складається з таких елементів , щоhg=g. Тому, якщо група H кінцева, то все ліві і всі праві суміжні класи складаються з однакового числа елементів, рівного .

>Орбити групи називаються класами пов'язаних елементів групи G щодо підгрупи H і позначаються ЯкщоG=H, кажуть просто про класах пов'язаних елементів групи G. Класи пов'язаних елементів можуть бути з різного числа елементів . Ця кількість одно , деZ(H,g) підгрупа H , що складається з всіх елементів hперестановочних з g.

Приклад.

Нехай - група підстановок ступеня 3.Занумеруем її елементи: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Нехай . Легко перевірити, що ліві суміжні класи суть:

, , .

Праві суміжні класи:

, , .

Всі ці класи складаються з 2 елементів.

Класи пов'язаних елементів G щодо підгрупи H:

, , , .

У той самий час,

, , .

ТеоремуЛагранжа.

Нехай H підгрупа кінцевої групи G. Тоді порядок H єделителем порядку G.

Доказ.

По властивості орбіт G представляється як об'єднання непересічних суміжних класів: . Оскільки всі суміжні класи складаються з однакового числа елементів, , звідки і випливає теорема.

Зауваження. Кількістьs лівих (чи правих) суміжних класів називається індексом підгрупи .

Слідство.

Дві кінцеві підгрупи групи G порядки яких взаємно прості перетинаються лише з нейтральному елементу.

У насправді, коли ці підгрупи, їх загальна підгрупа і з теореміЛагранжа - загальний дільник порядків H і K тобто 1.

  1. Нормальні підгрупи.Факторгруппи.

Нехай будь-яка підгрупа і -будь-який елемент. Тоді є також підгрупою G притомуизоморфной H, оскільки відображення поєднання єизоморфизмом.Подгруппа називається пов'язаною стосовно підгрупі H.

Визначення.

>Подгруппа H називається інваріантної чи нормальної групи G, коли всі поєднані підгрупи збігаються із нею самої: .

Рівність можна записати якHg =gH отже, підгрупаинвариантна у тому в тому разі, коли ліві та праві суміжні класи у цій підгрупі збігаються.

Приклади.

  1. У комутативної групі все підгрупи нормальні, оскільки відображення поєднання у такому групі тотожний.

  2. У будь-якій групі G нормальними будуть , у перших, тривіальна підгрупа й у других, вся група G. Якщо інших нормальних підгруп немає, то G називається простий.

  3. У розглянутим вище групі підгрупа перестав бути нормальної оскільки ліві та праві суміжні класи не збігаються.Сопряженними з H будуть підгрупи і .

  4. Якщо - будь-яка підгрупа, що йогоцентрализатор Z =Z(H,G) - нормальна підгрупа в G , оскільки всім її елементівz . Зокрема, центрZ(G) будь-який групи G -нормальна підгрупа.

  5. >Подгруппа H індексу 2 нормальна. У насправді, маємо 2 суміжних класу : H іHg =G-H =gH.

Теорему (властивість суміжних класів по нормальної підгрупі).

Якщо підгрупа H нормальна в G, то безліч різноманітних творів елементів з цих двох жодних суміжних класів у цій підгрупі знову однією з суміжних класів, тобто .

Доказ.

Вочевидь, що з будь-який підгрупи H .Але тоді

= = = .

Отже, у разі нормальної підгрупи H визначено алгебраїчна операція на безлічі суміжних класів. Ця операція асоціативна оскільки відбувається з асоціативного множення групи G.Нейтральним елементом з цією операції є суміжний клас . Оскільки , всякий суміжний клас має зворотний. Усе це означає, що стосовно цієї операції безліч всіх (лівих чи правих) суміжних класів по нормальної підгрупі є групою. Вона називається>факторгруппой групи G по H і позначаєтьсяG/H. Її порядок дорівнює індексу підгрупи H в G.


Абстрактна теорія груп

(продовження)

9 >Гомоморфизм.

>Гомоморфизм груп - це природний узагальнення поняття ізоморфізму.

Визначення.

Відображення груп називається >гомоморфизмом, коли вона зберігає алгебраїчну операцію, тобто : .

Отже, узагальнення у тому, що замість взаємно однозначних відбиття, які беруть участь у визначенні ізоморфізму, тут допускаються будь-які відображення.

Приклади.

  1. Зрозуміло, всякий ізоморфізм єгомоморфизмом.

  2. >Тривиальное відображення єгомоморфизмом.

  3. Якщо - будь-яка підгрупа, то відображення вкладення будеинъективнимгомоморфизмом.

  4. Нехай - нормальна підгрупа. Відображення групи G нафакторгруппуG/H будегомоморфизмом оскільки . Цейсюръективнийгомоморфизм називається природним.

  5. По теоремі З попереднього розділу відображення поєднання зберігає операцію і, отже єгомоморфизмом.

  6. Відображення , яке кожному переміщенню n- мірного простору ставить за відповідністьортогональний оператор (див. лекцію №3) єгомоморфизмом оскільки з теоремі 4 тієї ж лекції .

Теорему (властивостігомоморфизма)

Нехай -гомоморфизм груп, і - підгрупи. Тоді:

  1. , .

  2. - підгрупа.

  3. -підгрупа, причому нормальна, якщо він була .

Доказ.

  1. і за ознакою нейтрального елемента . Тепер маємо: .

  2. Нехайp = a(h) ,q = a(>k) . Тоді й . По ознакою підгрупи отримуємо 2.

  3. Нехай тобто елементиp = a(h) ,q = a(>k) входить у . Тоді тобто . Нехай тепер підгрупа нормальна і - будь-який елемент. і тому .

Визначення.

Нормальна підгрупа називаєтьсяядром >гомоморфизма .Образ цьогогомоморфизма позначається .

Теорему.

>Гомоморфизм aинъективен тоді й тільки тоді, коли

Доказ.

Оскільки , вказане умова необхідно. З іншого боку, якщо , те й якщо ядро тривіально, і відображенняинъективно.

Поняттягомоморфизма був із поняттямфакторгруппи.

Теорему прогомоморфизме.

Будь-якийгомоморфизм можна видати за композицію природного (>сюръективного)гомоморфизма , ізоморфізму і (>инъективного)гомоморфизма (вкладення підгрупи у групу): .

Доказ.

>Гомоморфизмиp і і описані вище (див. приклади) Побудуємо ізоморфізм j. Нехай .Элементамифакторгруппи є суміжні класиHg . Усі елементи мають однакові образи при відображенні a : . Тому формула визначає однозначне відображення . Перевіримо збереження операції

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація