Реферати українською » Математика » Лекції з математичного аналізу


Реферат Лекції з математичного аналізу

Страница 1 из 3 | Следующая страница

>Аксиоматика речовинних чисел.

>Алгебраические властивості речовинних чисел.

  1. На безлічі речовинних чисел визначено операція складання, яка задовольнить наступним аксіомам:

  • >Введем операцію множення:

  • >Дистрибутивность.Распределительний закон.

  • Безліч, елементи якого задовольняють a, b, з – числове полі.

    Приклади: безліч речовинних і раціональних чисел.

    Ставлення порядку.

    На безлічі речовинних чисел вводиться ставлення порядку , тобто. , яке задовольняє наступним аксіомам:

    1. виконується

    З положень цих аксіом слід, що з будь-якогоа і b , виконуються три випадку:

    1. a

    2. (a =b)

    3. b

    Безліч, у якому вводиться ставлення порядку, що задовольнить аксіомам 1-6, називається лінійної впорядкованістю. І безліч речовинних чисел, і безліч раціональних чисел – лінійно упорядкований полі


    Аксіома безперервності речовинних чисел

    Нехай , причому і : , тоді

    >Множеством речовинних чисел називається лінійно упорядкований безупинне числове полі.

    Зауваження: Аксіома безперервності гарантує, кожному речовинному числу відповідає єдиний тип числової прямий і, навпаки, кожної числової прямий відповідає єдине речовинне число.


    Уявлення (модель) речовинного числа.


    Можна довести, що аксіомам задовольняють десяткові дробу, причому кінцеві (періодичні) відповідають раціональним числам, а нескінченні (>непериодические) – ірраціональним числам.

    >Т.к. нескінченні дробу не можна використовувати при обчисленнях (непредставими в ЕОМ), то реальних розрахунках користуються виключно раціональними числами, але доведено, що будь-який речовинне число з будь-який ступенем точності уявити раціональним числом.


    Властивість числового безлічі (випливає з властивості упорядкованості).

    Безліч - обмежена згори, якщо .

    Кількість M – верхня межа безлічі X.

    Будь-яке число - точка верхньої межі,т.к.

    Отже, верхніх кордонів нескінченно багато.

    Найменша із усіх верхніх кордонів – верхня грань безлічі Х (>supX – >супремум ікс)


    Безліч - обмежена знизу, якщо .

    Кількість У – верхня межа безлічі X.

    Будь-яке число - точка нижньої межі,т.к.

    Найбільша із усіх нижніх кордонів – нижня грань безлічі Х (>inf X).


    Безліч називається обмеженим, коли вона буде обмежено й знизу і згори.


    Теорему: Будь-яке непорожнє, обмежений згори (знизу) безліч, має верхню (нижню) грань.

    Поняття абсолютної величини речовинного числа.

    На упорядкованому числовому безлічі введемо поняття модуля (абсолютної величини) речовинного числа:





    Властивості:


    Рішення найпростіших нерівностей з модулем.

    >Эквивалентность нерівностей:

    геометричний сенс:

    Поняття околиці у точці x0

    околиці у точці x0 (U (x0)) – симетричний інтервал радіуса з центром у точці x0


    >Приколотой околиці у точці x0 називається околиці цієї точки без самої x0


    Відкриті і замкнуті безлічі

    Безліч - називається відкритим, для будь-який точки цього безлічі знайдеться така , яка повністю міститься у цьому безлічі.

    , точки, які мають цією властивістю, називаються внутрішніми точками.

    (>a,b) – відкрите безліч:

    Крапка x X B будь-який окружності містить –граничной точки безлічі X


    Крапки a і b – граничні [>a;b] чи (>a;b).

    Граничні точки можуть бути належати, і належати безлічі негативних. Безліч своїх кордонів зовсім позбавлений.

    Крапка x називається граничною точкою X, якщо будь-яке - окружності містить хоча б точок X.

    (>x-предельная для X) ( (x) ( x, x) (x, (x) )

    точкиa,b є граничними як відрізка, так інтервалу ( [>a;b] і (>a;b) )

    a,b відтинку x

    a,b X

    Граничних точок – 2

    Предельних – цілий відрізок (інтервал)

    Крапка ізольована – якщо знайдеться (x), яка .

    Сукупність граничних і ізольованих точок – називається точками дотику безлічі X.


    Безліч X замкнутий, коли вона містить всі свої точки доторку.


    >Замкнутим безліччю є сегмент [>a;b].

    Відкритість і замкнутість – не альтернативні поняття. Існують безлічі, які є ні відкритими, ні замкнутими.

    Наприклад, [>a;b) чи (>a;b].

    Або одночасно відкриті й замкнуті ().


    Принципи існування граничною точки (>Вейерштрасс)


    Будь-яке обмежений безліч визначає хоча б одну граничну точку. Для необмежених нескінченних множин це твердження не так.

    (Безліч цілих чисел граничних точок немає, оскільки складається із одних ізольованих точок).

    _________________________

    Для поширення принципуВейерштрасса на необмежене безліч вводять нові об'єкти: +нескінченність, -, які числами є. Запроваджуються правила дії з них.

    Безглуздо:


    Поняття функції.


    Основний об'єкт - функція

    Основний предмет - межа.


    Функція – закон, яким елементу ставиться

    згідно од. елемент .

    >Д/з1: Область визначення функції

    >Д/з2: Область значення функції (>f) –E[f] З Y, таке, що

    (Кожен елемент безлічі E має прообраз в багатьох.


    Зауваження 1: у визначенні непотрібен, щоб кожен елемент X мав

    прообраз в Y.

    Кажуть, що функція відображає безлічі X у

    безліч Y. Завжди відображає безліч X на

    безлічі E.

    Не потрібно, щоб елементи E мали єдиний прообраз в багатьох X.

    >Д/з: Відображення, здійснюваних функцій , називається взаємно однозначним відображенням безлічі X на Y , якщо кожне елемент Y має єдиний прообраз безлічі X. .

    >Д/з: Дві функції рівні, якщо:

    1. .

    2. збігаються закони відповідності.


    Приклад: 1)Равни чи функції і

    Ні, оскільки .

    2) і


    >Д/з: Дві функції збігаються на безлічі X1, звкл. в те що областей визначення функцій , для будь-який збігаються з .



    Приклад: і збігаються на безлічі

    >Д/з: виписати визначеннячетних,нечетних,периодичних функцій; їх властивості й властивості симетрії графіків,сп. зад. функцій прикладах.


    Загальні властивості функцій.


    1) Обмеженість.Сводится до обмеженості безлічі значень.

    Функція обмежена, існує , що з

    -огранич.

    -неогранич.; при

    2)Монотонность.

    >Д/з: Функція називається зростаючій на проміжку X, для будь-якого проміжку;

    >Убивающей, якщо

    Зауваження: якщо нерівностінестрогие, то говорять пронеубивании один разі іневозрастании (абонеизм., убувши.) у 2 разі.

    >Невозрастающие інеубивающие функції – монотонні. При суворому нерівностістрогомонотонние.

    Приклад:

    Докажем, що вона убутна будь-якою проміжку.

    Наприклад:

    Нехай

    Поняття монотонності лише проміжків.

    Проміжок – безліч, що має властивістю:

    поруч із будь-яким2-мя числами і його належать все числа, ув'язнені з-поміж них .


    Поняття складної функції. (композиції функції)


    Нехай дано відображення і , такі, що перетину і - непорожнє безліч .

    Тоді вводиться нове відображення, , що містить нової функції

    і закон відповідності виходить за такою формулою:


    -отображ. складна функція (композиція).

    Приклад:


    Зворотний функція:


    Привзаимооднозн. відображенні X на Y зпом. функції цімножествасимм. щодо цього відображення, тобто. поруч із функцією існуєобр.ф-я

    >Д/з: називається зворотноївзаимооднозн.ф-и , якщо кожному елементу ставлять усоотв. отже .

    Зауваження: y >взаимнообр.ф-й >D(f) і >E(f) мін. місцями

    Зауваження 2: дляобр. функцій зробити заміну змінних , аби тегр-ни функцій ісимм.отн.бессектр. 1 і трьох квадратів.


    Приклад:обр.ф-я –



    Елементи теорії меж.

    Теорія меж формалізує (перев. на мат. з.) фрази: іЗн-янеогранич.приалинс-ся до A, коли x >неогр.приалинс-ся до ф; чиn >Зн-янеогр.приил. до A тоді, що й т.д.

    >Д/з:Р/м

    >втом однині і для x, скількиугоднок 0, тобто. хочазн-я цієї т. немає.


    Визначення краю в термінахокресностей.

    Кількість А називається межею при , і позначається , для будь-який ->окресности числа А знайдетьсяпроколатаяокресность, отже ля всіх x з цьогоокресности значення належатимуть->окресности числа А.

    Кінцевий межаф-ии (>А-вещ. число)

    КількістьА-конечний межаф-ии в т. і якщо

    Приватні випадки (геометрична ілюстрація)

    Кінцевий межа в кінцевої т.

    а – речовинне число

    Загальні властивості кінцевого краю

    1. Якщо -const, що його межасущ. дорівнює тієї жconst.

    , то

    1. Якщо кінцевий межасущ., він єдиний

    1. Для >f(x), має кінцевий межа в т. а, >сущ. такапрколотая околиця цієї т., у якійф-ия обмежена.

    1. Якщоф-ия має у т. а, кінцевий межа, нерівний нулю то знайдеться така в т. а, у якій - обмежена.

    2. Якщо >f(x), має у т. а негативний кінцевий межа, то знайдеться таке значення цієї точки, у якомуф-ияотрицателная.


    Нескінченно маліф-ии і їхні властивості:


    >Опр:- нескінченно мала при , якщо

    Властивості:

    І нехай є нескінченно малими при , а - обмежена, то нескінченно малими є алгебраїчна сумаф-ий >f(x) і(x), твори їх і твориф-ий на обмежену.


    >Представвлениеф-ии, має кінцевий межа.

    Теорему: Щобф-ия мала кінцевий межа А у точці >х=а,небходимо і, щоб =А+(x), де (x)- нескінченно мала при .

    Доказ:

    >Алгебраические властивостіфунцций мають кінцевий межа у точці а.


    Нехай , тоді:

    1. Існує межа алгебраїчній суми цихф-ий,равний алгебраїчній сумі цих меж.

    1. Існує межа твориф-ий твір меж


    1. Якщо межа знаменника нерівний 0 і B нерівно 0 то

    Слідство.

    З 1 і 2 слід, що константи можна виносити за знак краю


    Нескінченно великі наклади і їх властивості

    >Опр.Ф-ия називається нескінченно великий у точці а, коли його межа у цій точці дорівнює нескінченності.

    Властивості

    І нехай - нескінченно великіф-ии у точці а.

    >Ф-ия (x) має межа у точці а, відмінний від 0

    >Ф-ия (x) і (год) – нескінченно малі

    Тоді справедливі такі затвердження:

    1. Твір двох нескінченно великихф-ий – нескінченно великаф-ия.

    1. Твір нескінченно великих наф-ию, має відмінний від нуля межа - нескінченно велика.

    1. >Ф-ия, зворотна величині нескінченно великий – є нескінченно мала, і навпаки.

    Доказ 2):





    Доказ 3):


    Односторонні межі в кінцевій точці та його зв'язку з межею у цій точці.


    У визначенні краю околиці точки а – симетричний інтервал з центром у цій точці, тобто. потрібно існування значеньф-ий як праворуч від точки а , і зліва неї.

    Коли а – гранична точка>D(f)- що ситуація неможлива. У цьому вся, разі вводиться поняття одностороннього краю, у визначенні якого фігурує ліві та правіполуокрестности точки а


    - лівосторонній межа, тоді як лівої півкола точки А, значенняф-ии лежать у -околиці точки А


    Аналогічно дається визначення правобічного краю.

    Теорему: А, щоб у точці а існував межаф-ии, необхідне й досить існування й рівності лівостороннього і правостороннього меж

    Доказ:

    1. Необхідність:


    1. Достатність:


    Числові послідовності


    Завдання, через яку кожному N числу, ставлять у відповідність єдине речовинне число – називається числової послідовністю.


    >Числовая послідовність –ф-ия натурального аргументу.

    Позначається:


    Послідовність, безліч значень якої вже з числа – стаціонарна.


    Оскільки числова послідовність – не симетричний безліч, то тут для нього існує поняття парності, непарності, періодичності. Зате зберігаються властивості, пов'язані з впорядкованістю.

    Властивості:

    1. Обмеженість.

    2. послідовність обмежена згори, якщо

    3. послідовність обмежена знизу, якщо

    4. послідовність обмежена, якщо

  • >Монотонность.

    1. послідовність зростає, якщо

    2. послідовність убуває, якщо

    3. послідовність не убуває, якщо

    4. послідовність зростає, якщо


  • Межа послідовності

    >Т.к. N числа має 1 т. нескінченності, то тут для числової послідовності існує


    Зауваження:

    1. А то, можливо кінцевим чи нескінченним

    Якщо послідовність має кінцевий межа, вона називаєтьсясходящейся, і якщо немає – розбіжної.

    1. Загальні властивості збіжних послідовностей аналогічні властивостямиф-ий, мають кінцевий межа.

    2. >Арифметические властивості збіжних послідовностей аналогічні властивостямиф-ий, мають кінцевий межа

    3. Перехід до межі внеравенствах, для збіжних послідовностей аналогічнийф-ям, у яких кінцевий межа.

    4. Визначення нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей і їхні властивості аналогічні відповідним визначень і властивостямиф-ии безперервного аргументу.


    Критерії існування краю послідовності


    1. Критерії Коші (твори послідовностей)

    Для існування краю послідовностей необхідне й досить, щоб для будь-який..............

    Послідовність, на яку виконується ознака Коші –фундаменталная

    2. КритерійВейерштрасса (монотонність послідовності)

    а)неубивающие послідовності, обмежені згори, мають межа.

    б) не зростаючі послідовності, обмежені знизу, мають межа.


    >Доказательство(а):


    Перехід до межі в нерівності

    Теорему: Нехай >f(x) і (x) мають кінцеві межі в т. >y=a, тоді справедливо:

    Доказ:

    1. Нехай , тоді з загальному властивості №6

    ,

    але це суперечить 1

    Зауваження:

    1. Із твердження №3 слід, що межанеотрицательнойф-ии єнеотрицательним.

    2. При меж до протилежним можна обидві частини множити на (-1).


    Теорему2(о двохмиллиционерах ) нехай у деякою області Д виконується система нерівностей і а – межа точки.

    Нехай існують рівні межі ,

    тоді існує .

    Доказ:



    Перший чудовий межа


    Доказ: доведемо для справедливість нерівності

    З огляду на парності які входять у нерівністьф-ий, доведемо це нерівність на проміжку

    З малюнка видно, що загальна площа кругового сектора

    , оскільки x>0, то ,

    2. отже, що




    1. Покажемо, що


    1. >Докажем, що

    1. Останнє твердження:


    Другий чудовий межа


    Поняття дотичній до прямий.


    Пряма, через дві точки кривою – секанс.

    Граничне становище січною, що вона займає при прагненні т. М до т. М0 називається дотичній до кривою в т. М0


    Нескінченні межіф-ии.


    Якщо загальному визначенні краю через околиці покласти як А нескінченно найвіддаленіші точку, одержимо визначення нескінченного краю.

    Оскільки розрізняють три виду нескінченно віддалених точок, це вони мають три визначення:

    1.


    2.


    3.


    Поняття безперервностіф-ии.


    >Непреривность – таке властивістьф-ии, як відсутність точок розриву у графіків цієїф-ии. Тобто. будується єдиною безупинної лінією.



    Графік безупинноїф-ии ; Графікф-ии, розривної в т. З;


    >1.Ф-ия називається безупинної у точці x0 , якщо межа у цій точці збігається з значеннямф-ии у цій самій точці

    2.

    3. Різниця -прирощення аргументу у точці x0

    4. Різниця - прирощенняф-ии у точці x0 викликає прирощення аргументу

    5.Ф-ия називається безупинної у точці x0 , якщо нескінченно малому аргументу відповідає нескінченно мале значенняф-ии у точці x0 .


    Загальні властивостіф-ии, безупинної у точці.


    Уявімоф-ию з допомогою нескінченно малих

    1.

    >2.Пустьф-ия безупинна у точці x0 і його значення у цій точці відмінно від нуля, що існує ціла околицяx0 , у якійф-ия не дорівнює нулю і зберігає знак >f(x0)

    >sign(x)(>сигнум)


    Доказ:

    а)

    б)

    З чи б) слід:


    >Непреривность і арифметичні операції

    І нехай безупинна в т. x0 , тоді справедливо:

    1. Сума цихф-ий безупинна в т. x0 ;

    - безупинна у точці x0

    2. Твір цихф-ий безупинно в т. x0

    - безупинна у точці x0

    3. Ставлення цих функцій безупинно у його точках, у яких знаменник різниться від нуля, тобто. якщо знаменник0.


    Доказ:


    >Непреривность складноїф-ии.

    Нехай:

    1. >Ф-ия - безупинна в т. y0 .

    2. >Ф-ия - безупинна в т. x0 .


    тоді складнаф-ия - безупинна в т. x0 .

    Доказ:

    А).


    Б).

    з А) і Б) слід:


    >Sl.


    >Непреривностьф-ии на безлічі.

    >Df. >Ф-ия безупинна на безлічіХ , якщо вонанепрервна у кожному точці цьогомеожества.

    >Непреривность зворотноїф-ии:

    Нехай - безупинна і, суворо монотонна напромежутеХ , тоді справедливо:

    1. *****

    2. На проміжкуY існуєнепрериная зворотнаф-ия .

    3. Характер монотонності зворотноїф-ии той самий як і прямий.

    >Непреривность елементарноїф-ии:

    1. **********

    2. Доказ безперервності основний елементарноїф-ии >tg і>ctg , випливає з властивостейнепрериности елементарнихф-ий.

    3. >Непреривность>log,arcsin,arccos,arstg випливає з визначення безперервності зворотноїф-ии.

    >Df Елементарніф-ии, отримані з основних елементарнихф-ий з допомогою арифметичних операцій, взятих у кінцевому числі,********


    Характеристика точок розривуф-ии.

    1. Крапка переборного розриву.

    >D(f) т. x0 називається точкою переборного розривуф-ии , якщо вона визначена у цієї точці, однак має кінцевий межа.


    >Ф-ию можна зробити безупинної у цій точці,доопределив їй значення у цій точці рівним межею.


    2. Крапка розриву першого роду.

    >D(f) x0 – точка розриву першого роду, якщо є кінцевий лівосторонній і правобічний межа нерівні між собою.

    Різницю (>b-a)називають стрибкомф-ии в т. x0


    3. Крапка розриву другого роду.

    *********************************


    Одностороннє безперервністьф-ии.

    1. Якщо>D(f)1 безперервності межа замінити одностороннім межею, одержимо визначення односторонньої безперервностіф-ии.

    2. >Ф-ия називається безупинної у точці x0 справа, якщо правобічний межа збігається з значеннямф-ии.

    3. >Ф-ия називається безупинної у точці x0 зліва,есди лівосторонній межа збігається з значеннямф-ии.

    Наприклад:

    - досліджуємо межаф-ии справа й зліва:

    >ф-иянепрепивна у точці >х=0.

    Для безперервності у точці x0 необхідне й досить, щоб у неї безупинна зліва і правих у цій точці.


    Властивостіф-й, безперервних на відрізку

    >Ф-ия називається безупинної на відрізку [>a,b], якщо вона безупинна на інтервалі(>a,b) й у т. а безупинна справа а т. b – зліва.

    Т1:Ф-ия

    Страница 1 из 3 | Следующая страница

    Схожі реферати:

    Навігація