Реферати українською » Математика » Вивчення елементів сучасної алгебри, на прикладі підгруп симетричних груп, на факультативних заняттях з математики


Реферат Вивчення елементів сучасної алгебри, на прикладі підгруп симетричних груп, на факультативних заняттях з математики

Страница 1 из 6 | Следующая страница

>ХАКАССКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЇМН.Ф.КАТАНОВА


ІНСТИТУТЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК ІМАТЕМАТИКИ

>КАФЕДРАМАТЕМАТИКИ ІМПМ

>СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010100 –МАТЕМАТИКА


Вивчення елементів сучасної

алгебри, з прикладу підгруп

симетричних груп, на

факультативних занять із

математиці

Дипломна робота


>Студент-дипломник _________________________________________

Науковий керівник ______________________________________

Рецензент _________________________________________________


«Допустити до захисту»

Зав. кафедрою _________

«___»__________ 2000 р.


>Абакан, 2000

>ОГЛАВЛЕНИЕ


Запровадження …………………………………………………………………………………………………………………………… 04

Глава 1.Подгруппи симетричних груп ………………………………………… 08

1.1. Основні поняття та засобами визначення …………………………………………… 09

1.2.Теореми про підгрупах ……………………………………………………………………… 10

1.3.Знакопеременная група ………………………………………………………………… 14

1.4. ТеоремуЛагранжа ………………………………………………………………………………… 15

1.5. Наслідки з теоремиЛагранжа ……………………………………………… 18

1.6. Завдання …………………………………………………………………………………………………………… 19

Глава 2. Використання елементів сучасної алгебри на

факультативних заняттях …………………………………………………………………………… 29

2.1. Елементи сучасної алгебри, як раз-

вітія абстрактного мислення учнів старших

класів ……………………………………………………………………………………………………………… 29

2.1.1. Мислення та її розвиток ………………………………………………… 29

2.1.2. Особливості формування мислення в старшому

шкільному віці …………………………………………………………………………… 31

2.1.3. Необхідність розвитку мисленнястаршеклас-

>сников у процесі навчання …………………………………………………… 33

2.1.4. Розвиток абстрактного мислення учнів

старшої школи засобами сучасної алгебри 34

2.2. Вивчення елементів теорії груп на факультатив-

>них занять із математиці …………………………………………………………… 37

2.2.1. Роль факультативів у процесі навчання мало-

тематиці …………………………………………………………………………………………………… 37

2.2.2. Характерні особливості факультативних за-

>нятий з математики ……………………………………………………………………… 39

2.2.3. Елементи теорії груп на факультативних

заняттях …………………………………………………………………………………………………… 42

2.2.3.1. Доцільність запровадження елементів

теорії груп у програму факультативних

курсів ………………………………………………………………………………………………… 42

2.2.3.2. Програма і змістом занятьфакуль-

>тативного курсу «Елементи сучасної ав-

>гебри» ………………………………………………………………………………………………… 43

2.3. Організація і вивести результати експериментальноїра-

боти з впровадження шкільне навчанняфакульта-

>тивного курсу «Елементи сучасної алгебри» …………… 53

Укладання ……………………………………………………………………………………………………………………… 59

Література ……………………………………………………………………………………………………………………… 60

Додатка ……………………………………………………………………………………………………………………… 63


ЗАПРОВАДЖЕННЯ


Математичне освіту, одержуване в загальноосвітньої школі, є найважливішим компонентом загальної освіти і загальної культури сучасної людини.

Упродовж багатьох століть математика є елементом системи загальної освіти. Пояснюється це унікальністю ролі навчального предмета «Математика» у формуванні особистості. Освітній і розвиваючий потенціал математики величезний. У сучасному навчанні математика посідає дуже значне місце.

Вивчення основ математики сучасних умовах стає дедалі істотним елементом загальноосвітньої підготовки покоління. Нині увагу до шкільного математичного освіті посилюється [9], [14].

Зміст шкільного курсу математики методика його викладання – споконвічний предметнезатихающих і часом бурхливих суперечок. Чого і як вчити у шкільництві, очевидно, завжди належатиме до вічних проблем, котрі виникають навіть тоді, як він дано рішення, краще проти попереднім. І це неминуче, оскільки безупинно поповнюються наші наукові знання і набутий підходи до пояснення навколишніх явищ. Безсумнівно, що відсотковий вміст шкільного викладання має змінюватись з процесом науки, кілька відстаючи його й дає можливість новим наукових ідей і концепціям прийняти прийнятні в психологічному й методичному відношенні форми. Періодичне оновлення змісту шкільного курсу математики – необхідний елемент розвитку загальної освіти [1], [4], [19], [20].

Зрозуміло, що початкова й середнє математичну освіту відносини із своїми незмінними програмами і методами повністю відірване сучасної математичної науки, від неї фундаментальних концепцій, ідей, від неї додатків. Сучасна шкільна програма по математики усталилася у у минулому столітті. Вона катастрофічним чином відстає від вимог сучасного життя.

Бурхливий розвиток всіх галузей техніки і пов'язаний із цією новий етап у розвитку математики як науки починає настійно проводити школу. Настав час серйозного перегляду змісту шкільного навчання, причому починати з критичного аналізу матеріалу програми що склалися на час шкільного курсу математики. Слід зазначити, що з погляду нових вимог щодо школі наша діюча програма з математики містить багато такого, що ні має серйозного теоретичного і практичного значення. Бо в школі приділяється занадто багато уваги чинникам і методам, незначущим для практичної діяльність у будь-якій галузі [20].

Математика, справді корисна нині, - це сучасний математика. Вона має найбільший шанс бути співзвучною розумовою запитам сучасних дітей. Тому, особливо назріла потреба запровадження у шкільне навчання елементів сучасної математики.

На думку, найдоцільнішим лежить введення в шкільне викладання елементів сучасної абстрактної алгебри.

Розпочатий у нашій столітті процесалгебраизации математики точиться, але це викликає наполегливі спроби запровадження шкільне математичну освіту основних алгебраїчних понять. Природно, що саме першому плані висувається теорія груп, по-перше, через тієї фундаментальної ролі, яку групи грають у сучасної математиці, по-друге, через відносної простоти цього поняття. Математична глибина і вельми широка сфера застосування теорії груп поєднуються з простотою її засад – понять групи, низку важливих теорем можна сформулювати і довести, володіючи початковими уявленнями у сфері теорії множин. Тому теорія груп якнайкраще адресований здобуття права показати школярам зразок сучасної математики [3], [7].

З іншого боку, вивчення елементів теорії груп корисно що для школярів, сприяє їхній інтелектуальному зростанню,проявляющемуся у розвитку та збагаченні різних сторін мислення, якостей і дідько особистості, і навіть вихованню у учнів інтересу до математики, до науки.

У зв'язку з цимпроблема нашого дослідження залежить від з розробки й апробації факультативного курсу «елементи сучасної алгебри учнів старшої школи, обгрунтування можливості і доцільності їх упровадження елементів сучасної алгебри в шкільне математичну освіту.

Мета дослідження – виявлення можливостей запровадження елементів сучасної алгебри у програмі факультативних курсів учнів9-10-х класів, обгрунтування доцільності і доступності даного навчального матеріалу і вплив його за розвиток абстрактного мислення школярів.

Об'єкт дослідження – елементи сучасної алгебри у програмі факультативних курсів з математики.

Предмет дослідження – теорія груп на факультативних заняттях і вплив цієї теорії в розвитку абстрактного мислення школярів.

Гіпотеза дослідження – запровадження елементів сучасної алгебри у програмі факультативних курсів по математики учнів старшої школи доцільно, доступно і сприяє розвитку абстрактного мислення, якщо здійснюється систематична і планомірна роботу з учнями.

Відповідно до метою та гіпотезою під час дослідження вирішувалися такізавдання:

  1. з урахуванням аналізу літератури обгрунтувати можливість і й доцільність використання елементів сучасної алгебри на факультативних заняттях;

  2. провести психолого-педагогічний аналіз розвитку абстрактного мислення учнів старшої школи;

  3. у рамках факультативного курсу «Елементи сучасної алгебри» заняття з темі: «Поняття підгрупи.Подгруппи симетричних груп», і навіть розробити програму невеликого факультативного курсу «Елементи теорії груп.Симметрические групи»;

  4. експериментально перевірити ефективність запровадження у програму факультативних курсів з математики елементів теорії груп.


Методи дослідження: аналіз математичної, методичної і психолого-педагогічної літератури з цієї темі; відбір навчального матеріалу від використання на факультативних заняттях; здійснення педагогічного експерименту.

Експериментальна база дослідження – національна гімназія їм.Н.Ф.Катанова (р.Абакан, РеспублікаХакасия).

Результати дослідження обговорювалися на семінарах,доказивались на науково-практичній конференції «>Катановские читання» у квітні 2000 року.

Структура дипломної роботи. Робота складається з запровадження, двох глав, укладання, списку використаної літератури та додатків.


ГЛАВА 1.ПОДГРУППЫСИММЕТРИЧЕСКИХГРУПП


У житті сучасного суспільства дуже є математика. Нині математика знаходить широке застосування під час вирішення найрізноманітніших проблем науку й практики. Особливо велика роль сучасної математики.

Однією з найважливіших і швидко та розвитку областей сучасної математики є абстрактна алгебра.

У центрі уваги сучасної абстрактної математики як такі алгебраїчні структури, як групи, підгрупи,полугруппи, кільця тощо, що вже стали класичними, та його далекосяжні узагальнення, а й об'єкти нової природи [27].

Однією з основних розділів сучасної алгебри є теорія груп. Групи – це з основних типів алгебраїчних структур.

Знадобилася робота кількох поколінь математиків, яка цілому близько ста, як ідея групи ви кристалізувалася з її сьогоднішньої ясністю.

Теорія груп початку оформлятися як самостійного розділу математики кінці XVIII століття. Протягом перший десятиліть ХІХ століття вона розвивалася повільно й мало привертала собі уваги. Але потім, близько 1830 року, завдяки роботамГалуа і Абеля проразрешимости алгебраїчних рівнянь всього кілька років вона провела гігантський стрибок, який надав глибоке впливом геть розвиток усієї математики. З того часу засадничі поняття теорії груп стали детально досліджуватися [3].

Нині теорія груп є одним із найрозвиненіших областей алгебри, має численні застосування як у самій математиці, і її межами – в топології, теорії функцій, кристалографії, квантової механіки і інших галузях математики природознавства.

Поняття групи був із поняттям підгрупи. Слово «підгрупа» означає «група всередині групи».

Поняття підгрупи є основним теоретично груп. Усі зміст теорії пов'язано більшої або меншою мірою питанням про наявність у групі підгруп з тими чи інші спеціальними властивостями, про групах, які можна вкладено у цю групу, про те чи інших властивості, характеризуючих взаємне розташування підгруп групи, про засоби побудови групи з їїподгруппам. З іншого боку, з допомогою підгруп можна описати внутрішню структуру деяких груп. Виділення тих чи інших спеціальних типів груп також пов'язано переважно з визначенням підгрупи. Тому підгрупи грають особливу роль розвитку і застосування теорії групи [3], [8].


1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ІОПРЕДЕЛЕНИЯ


Визначення: безліч перестановок енну кількість ступеня утворює по множенню групу, притому кінцеву порядку n!. Ця група називається симетричної групою енну кількість ступені та позначається P.Sn.

Визначення: підмножина М безлічі P.Sn називається підгрупою групи P.Sn, коли вона є групою щодо дії множення перестановок.

Такі підмножини відіграють істотне значення з вивчення будівлі групи P.Sn.

>Симметрическая група P.Sn має багато різних підгруп, причому їх кількість нас дуже швидко зростає збільшенням кількості n. Повністю описати все підгрупи групи P.Sn вдається тільки до невеликих n, а n великих вивчаються лише загальні властивості таких підгруп.

Часто підгрупи симетричної групи P.Sn називають просто групами перестановок. Зокрема, саме безліч P.Sn є також своєї підгрупою, тобто група P.Sn буде підгрупою самої себе. З іншого боку, безліч яка полягає лише вже з одиничного елемента, є також підгрупою, це з таких рівностей:E*E=E, E-1=E. Така підгрупа називається одиничної. Для кожній іншій підгрупи М групи P.Sn виконується нерівність: 1<|H|

Одинична підгрупа і весь група називаютьсянесобственнимиподгруппами, проте інші підгрупи називаються власними.

Здебільшого нас цікавитимуть власні підгрупи груп.


1.2.ТЕОРЕМЫ ПроПОДГРУППАХ


До кожного підмножини безлічі P.Sn, що є підгрупою, їх необхідно виконувати всі вимоги визначення групи. Але перевіряти всі вимоги непотрібно, оскільки справедлива наступна теорема про підгрупах.

Теорему: підмножина М групи P.Sn, яке містить по меншою мірою одну перестановку, є підгрупою групи P.Sn тоді й тільки тоді, коли:

  1. разом із кожними двома елементами до нього входить їхній колективний витвір ;

  2. якщо , то .


Доказ.

Необхідність.

Справді, якщо М – підгрупа групи P.Sn, вона замкнута щодо дії вправи перестановок, які належать М, тобто виконується умова 1). Кожен елемент з М має зворотний, отже, виконується умова 2).


Достатність.

Нехай для безлічі М перестановок виконуються умови 1) і 2). Перевіримо, чи є безліч М все властивості групи. Умова 1) означає, що багато М замкнуто щодо дії множення своїх елементів отже, виконуються перша вимога визначення групи.Ассоциативность дії множення перестановок М має місце, оскільки множення довільних перестановок (зокрема, і тих, які належать М) має властивість.Тождественная перестановка також має належати безлічі М. Справді, М містить хоч одну перестановку, наприклад , тоді М належить за умовою 2) і перестановка . Тож за умові 1) М належить перестановка . Нарешті, умова 2) показує, кожен елемент з М має зворотний, також належить М. Отже, М є підгрупою групи P.Sn.

Теорему доведено.


Приклад 1.

Нехай М – безліч перестановок , , , .

Перевіримо, чи є М підгрупою групи P.S4.

Маємо: , отже, для безлічі М виконується умова 2) хіба що доведеною теореми. Перевіримо виконання умови 1) теореми.

Отже, твір кожних двох елементів безлічі М є елементів тієї самої безлічі, тобто для М виконується і умова 1) згаданого вище теореми.

Отже, підмножина М є підгрупою групи P.S4.


Приклад 2.

Нехай Т – безліч перестановок , , , .

Перевіримо, чи є Т підгрупою групи P.S4.

Виявляється, що багато Т перестав бути підгрупою групи P.S4, оскільки йому не виконується жоден з умов 1), 2) теореми про підгрупах. Справді, , оскільки , .

Слід зазначити, що сформульована вище теорема справедлива для нескінченних груп. Що стосується кінцевих груп перевірка умови 2) є зайвої, тобто для кінцевих груп справедлива наступна теорема про підгрупах.

Теорему: нехай - група, М - її кінцеве підмножина і це замкнуто щодо множення. Тоді М – підгрупа групи G.

Доказ.

>Докажем замкнутість М щодо існування зворотного елемента.

Візьмемо довільний елемент . Якщо , те й .

Нехай . Розглянемо ступеня елемента : - всі ці числа належать М (оскільки М замкнуто щодо множення за умовою). Оскільки безліч М звісно, то ми все ці числа різні не можуть.

Отже, існують . Нехай (у разі доказ проводиться аналогічно). Тоді й , , , .

Отже, - зворотний для , тобто . Але . Отже, , тобто . Отже, для довільного елемента отримали, що . Отже, М – підгрупа групи G.

Теорему доведено.

Ми знаємо, щосимметрическая група P.Sn є кінцевою. Тому щоб підмножина М групи P.Sn було підгрупою групи P.Sn, досить щоб твір довільних двох елементів з М також належало М.


1.3.ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУПА


Особливий інтерес представляє безліч An всіх парний перестановок на безлічі з n символів. Зрозуміло, що це підмножина симетричної групи P.Sn. Стверджується, що An є підгрупою групи P.Sn. Щоб довести це, перевіримо, що An задовольняє двом умовам, що характеризує підгрупу:

  1. замкнутість.

Якщо р1 і р2 – перестановки з An,представимие як творів n1 і n2 >транспозиций відповідно, їх твір можна записати з допомогоютранспозиций. Якщо n1 і n2 – парні числа, те й n1+n2 >четно, звідки можна зрозуміти, що перестановка парна і, отже, ця перестановка належить An.

  1. оборотність.

>Перестановка р має зворотний р-1 (групи P.Sn);р*р-1=Є можна лише за допомогою парного числатранспозиций, оскільки Є – парна перестановка. Отже, якщо р – парна перестановка, то р-1 повинен бутичетной, тобто в кожного елемента із групи An є в An.

Отже, для підмножини An виконуються дві умови теореми про підгрупах (причому, друге умова можна було б і ні перевіряти, оскільки P.Sn – кінцева група). Тому An є підгрупою симетричної групи P.Sn.Подгруппа An групи P.Sn називаєтьсязнакопеременной

Страница 1 из 6 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація