Реферати українською » Математика » Обчислення координат центра ваги плоскої фігури


Реферат Обчислення координат центра ваги плоскої фігури

Міністерство спільного освітнього і професійної освіти Російської Федерації.

Уральський Державний Технічний Університет -УПИ.

>Реферат

 

>ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРУ ГИРІПЛОСКОЙ ПОСТАТІ.

 

 

 

 

 

 

 

 

>Виполнил:

Студент групиХ-149

ПокровськийП.В.

Перевірив:

Викладач кафедри ВМ іУМФ

>Пироговская Л. М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Єкатеринбург.

1999.

 

 

1. Координати центру ваги.

Нехай на площиніOxy дана система матеріальних точок

>P1(x1,y1);P2(x2,y2); ... ,Pn(xn,yn)

з масамиm1,>m2,>m3, . . . ,mn.

Твори xі>mі і yі>mі називаються статичними моментами масиmі щодо осейOy іOx.

Означимо через xз і yз координати центру ваги даної системи. Тоді координати центру ваги описаної матеріальної системи визначаються формулами:

Ці формули використовуються при знаходженні центрів тяжкості різних лідерів та тіл.

2. Центр тяжкості пласкою постаті.

Нехай дана постать, обмежена лініямиy=f1(x),y=f2(x),x=a,x=b, є матеріальну пласку постать.Поверхностною щільність, тобто масу одиниці площі поверхні, вважатимемо постійної і рівноїd всім частин постаті.

>Разобьем цю постать прямимиx=a,x=x1, . . . ,x=xn=b на смужки шириниDx1,   >Dx2, . . .,Dxn. Маса кожної смужки дорівнюватиме твору її площі на щільністьd. Якщо кожну смужку замінити прямокутником (мал.1) з повним правомDxі і заввишкиf2(>x)-f1(x), де x, то маса смужки буде наближено дорівнює

 (і = 1, 2, ... ,n).

>Приближенно центр тяжкості цієї смужки перебуватиме у центрі відповідного прямокутника:

Замінюючи тепер кожну смужку матеріальної точкою, маса якої дорівнює масі відповідної смужки і зосереджена центрі тяжкості цієї смужки, знайдемо близьке значення центру ваги всієї постаті:

Переходячи до межі при , одержимо точні координати центру ваги даної постаті:

Ці формули справедливі для будь-який однорідної (тобто. має постійну щільність переважають у всіх точках) пласкою постаті. Як бачимо, координати центру ваги не залежить від щільностіd постаті (у процесі обчисленняd скоротилося).

3. Координати центру ваги пласкою постаті

У попередній главі вказувалося, що координати центру ваги системи матеріальних точокP1,P2, . . .,Pn з масамиm1,m2, . . .,mn визначаються по формулам

.

У межі при інтегральні суми, які учислителях ізнаменателях дробів, перейдуть у подвійні інтеграли, в такий спосіб виходять точні формули для обчислення координат центру ваги пласкою постаті:

(*)

Ці формули, виведені для пласкою то з поверхневою щільністю 1, залишаються й у постаті, має будь-яку іншу, постійну переважають у всіх точках щільність g.

Якщо ж поверхнева щільністьпеременна:

це були відповідні формули матимуть вид

Висловлювання

і

називаються статичними моментами пласкою постаті D щодо осейOy іOx.

Інтеграл висловлює величину маси аналізованої постаті.

4.ТеоремиГульдена.

Теорему 1.

Площа поверхні, отриманої під час обертання дуги пласкою кривою навколо осі, що у площині цієї кривою і котрий перетинає її, дорівнює довжині дуги кривою, помноженою на довжину окружності, описаної центром тяжкості дуги.

Теорему 2.

Обсяг тіла, отриманого під час обертання пласкою постаті навколо осі, не котрий перетинає її й що у площині постаті, дорівнює твору площі цієї фігури на довжину окружності, описаної центром тяжкості постаті.

>II.Примери.

1)

Умова: Знайти координати центру ваги півкола X2+Y2=a2, розташованої над віссюOx.

Рішення: >Определимабсциссу центру ваги: ,

Знайдемо теперординату центру ваги:

2)

Умова: Визначити координати центру ваги сегмента параболи y2=>ax,отсекаемого прямий,х=а (рис. 2)

Рішення: У разі тому

 (оскільки сегмент симетричний щодо осіOx)

3)

Умова: Визначити координати центру ваги чверті еліпса (рис. 3)

вважаючи, що поверхнева щільність переважають у всіх точках дорівнює 1.

Рішення: По формулам (*) отримуємо:

       

4)

Умова:

Знайти координати центру ваги дуги ланцюгової лінії .

Рішення:

>1Так як крива симетрична щодо осіOy, що його центр тяжкості лежить на жіночих осіOy, тобто. Xз= 0. Залишається знайти . Маємо тоді довжина дуги

Отже,

5)

Умова:

Користуючись теоремоюГульдена знайти координати центру ваги чверті кола

.

Рішення:

При обертанні чверті кола навколо осі Ой одержимополушар, обсяг якого дорівнює  

Відповідно до другий теореміГульдена, Звідси Центр тяжкості чверті кола лежить на жіночих осі симетрії, тобто. на бісектрисі I координатного кута, тому

III. СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛІТЕРАТУРИ

1. ДанкоП.Е., Попов О.Г., КожевниковаТ.Я. «Вища математика в вправах та військово-політичні завдання», частина 2, «Вищу школу», Москва, 1999.

2. Піскунов М.С. «>Дифференциальное і інтегральне обчислення для втузів», тому 2, «Наука», Москва, 1965


Схожі реферати:

Навігація