Реферати українською » Математика » Обчислення визначених інтегралів за правилом прямокутників


Реферат Обчислення визначених інтегралів за правилом прямокутників

Зміст.

1. Запровадження. Постановказадачи……..…………………………2стр.

2. Висновокформули……………………………………………….3стр.

3. Додатковий член у формуліпрямоугольников……….5стр.

4.Примери………………………………………………………..7стр.

5.Заключение……………………………………………………..9стр.

6. Списоклитератури…………………………………………...10стр.

Постановка завдання.

      Завдання обчислення з дитинства інтегралів під багатьох областях прикладної математики. Найчастіше зустрічаються певні інтеграли від функцій,первообразние яких немає виражаються через елементарні функції. З іншого боку, в додатках має справу з певними інтегралами, саміподинтегральние функції є елементарними.Распространенними є також випадки, колиподинтегральная функція задається графіком чи таблицею експериментально отриманих значень. У цих ситуаціях використовують різні методи чисельного інтегрування, що базуються у тому, що інтеграл представляється як краю інтегральної суми (суми площ), й дозволяють визначити цю суму з прийнятною точністю. Нехай потрібно обчислити інтеграл  за умови, що a і b кінцеві і >f(x) є неперервним функцією по всьому інтервалі (a, b). Значення інтеграла I є площа, обмежену кривою >f(x),віссю x і прямими x=a, x=b.Вичисление I проводиться шляхом розбивки інтервалу від a до b силою-силенною менших інтервалів, наближеним перебуванням площі кожної смужки,получающейся в такому розбивці, і подальшому підсумовуванні площ цих смужок.

 

 

Висновок формули прямокутників.

          Перш, ніж можливість перейти до формулі прямокутників, зробимо таке зауваження:

 З а м е год а зв і е. Нехай функція >f(x) безупинна на сегменті [a, b], а

 - деякі точки сегмента [a, b]. Тоді у цьому сегменті знайдеться точка така, що середнє арифметичне .

   У насправді, позначимо через >m і M точні межі функції >f(x) на сегменті [a, b]. Тоді нічого для будь-якого номери >k справедливі нерівності .Просуммировав ці нерівності за всіма номерами і поділивши результат на n, одержимо

    Оскільки безперервна функція приймає будь-яке проміжне значення,заключенное між >m і M, то, на сегменті [a, b] знайдеться точка така, що

.  

    Перші формули для наближеного обчислення певних з дитинства інтегралів найпростіше виходять з геометричних міркувань.Истолковивая певний інтеграл як площа деякою постаті, обмеженою кривою , ми бачимо ставимо собі завдання про визначення цієї площі.

Насамперед, вдруге використовуючи цю думку, що до самому поняттю про певнийинтеграле, може бути розбитий всю постать (рис. 1) на смужки, скажімо, одному й тому ж ширини , та був кожну смужку наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята котрась із її ординат. Це призводить нас до формули

  (1)

де , а R – додатковий член. Тут бажана площа криволінійної постаті замінюється площею деякою що з прямокутників східчастої постаті (чи – якщо хочете – певний інтеграл замінюється інтегральної сумою). Ця формула і називається формулою прямокутників.

                                (мал.1)

Насправді зазвичай беруть ; якщо відповідну середнюординату позначити через , то формула перепишеться як

.

   

Додатковий член у формулі прямокутників.

 

>Перейдем до відшуканню додаткового члена у формулі прямокутників.

Справедливо таке твердження:

  У тонн на е р ж буд е зв і е. Якщо функція >f(x) тримає в сегменті [a, b] безперервну другу похідну, то, на цьому сегменті знайдеться така точка

, що додатковий член R у формулі (1) дорівнює

             (2)

Доказ.

      Оцінимо , вважаючи, що функціяf(x) тримає в сегменті [-h, h] безперервну другу похідну І тому піддамо дворазовому інтегрування частинами кожен із наступних двох з дитинства інтегралів:

 

     Для першого з цих з дитинства інтегралів одержимо

     Для другого з з дитинства інтегралів аналогічно одержимо

   Полусумма отриманих для і висловів призводить до такої формули:

 

   (3)

   Оцінимо величину , застосовуючи доинтегралам і формулу середнього значення й враховуючинеотрицательность функцій і . Ми одержимо, що знайдуться точка на сегменті [-h, 0] і край на сегменті

[0 ,h] такі, що

   З огляду на доведеного зауваження на сегменті [-h, h] знайдеться точка така, що     

Тожполусумми ми матимемо таке вираз:

 

  Підставляючи цей вислів в рівність (3), одержимо, що

  (4)

де

  .  (5)

  Оскільки величина є площа деякого прямокутника з повним правом (мал.1), то формули (4) і (5) доводять, що помилка, чинена при заміні зазначеної площею, має порядок

    Отже, формула тим точніше, що менше h. Тож обчислення інтеграла природно уявити цю інтеграл як суми досить великої числа n з дитинства інтегралів

   І кожному із зазначених з дитинства інтегралів застосувати формулу (4). З огляду на у своїй, що довжина сегмента дорівнює , ми матимемо формулу прямокутників (1), у якій

  Тут . Ми скористалися формулою, доведеною утвердженню, для функції  

 

 

 

 

 

 

 

Приклади обчислення певних з дитинства інтегралів

за такою формулою прямокутників.

 

    Для прикладів візьмемо інтеграли, які обчислимо спочатку за такою формулоюНьютона-Лейбница, та був за такою формулою прямокутників.

    П р і м е р 1. Нехай потрібно обчислити інтеграл .

 За формулоюНьютона-Лейбница, одержимо

 Тепер застосуємо формулу прямокутників

1.     .

2.     .

3.     .

4.     .

5.     .

6.     .

7.     .

8.     .

9.     .

10.                                                                                                .

      Сума .

Отже, .

У цьому прикладі неточності в обчисленнях немає. Отже, для даної функції формула прямокутників дозволила точно обчислити певний інтеграл.

      П р і м е р 2.  >Вичислим інтеграл з точністю до 0,001.

 Застосовуючи формулуНьютона-Лейбница, одержимо .

 Тепер скористаємося формулою прямокутників.

  Оскільки для маємо (якщо ), то

  Якщо взяти n=10, то додатковий член нашої формули буде Нам доведеться внести ще похибка, округляючи значення функції; постараємося, щоб межі цієї нової похибки відрізнялися менше, ніж Для цього він досить вираховуватимуть значення функції з чотирма знаками, з точністю до 0,00005. Маємо:

1.     .

2.     .

3.     .

4.     .

5.     .

6.     .

7.     .

8.     .

9.     .

10.                                                                                                   


Сума 6,9284.

  .

 З огляду на, що поправку до кожноїординате (отже й до середньому арифметичному) міститься між , і навіть приймаючи до уваги оцінку додаткового члена , знайдемо, що є між межами і , отже, тим більше між 0,692 і 0,694. Отже, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Укладання.

      Викладене вище метод обчислення певних з дитинства інтегралів містить чітко сформульований алгоритм щодо обчислень. Інший особливістю викладеного методу є стереотипність тих обчислювальних операцій, які треба виробляти кожному окремому кроці. Ці дві речі забезпечують широке застосування викладеного методу щодо обчислень на сучасних швидкодіючих обчислювальних машинах.

      Вище для наближеного обчислення інтеграла від функції >f(x)

ми виходили з розбивки основного сегмента [a, b] досить велика кількість n рівних часткових сегментів однаковою довжини h і з наступної заміни функції >f(x) кожному частковому сегментімногочленом відповідно нульового, першого чи другої порядку.

         Похибка, що виникає за такого підходу, неможливо враховує індивідуальних властивостей функції >f(x). Тому, природно, виникає ідея проварьировании точок розбивки основного сегмента [a, b] на n, власне кажучи, не рівних одна одній часткових сегментів, що забезпечувало б мінімальну величину похибки даноїприближенной формули.

Список літератури.

1.ФихтенгольцГ.М. Курс диференціального і інтегрального обчислення в 3-х томах, тому II. (§§ 332, 335).

2. Ільїн В.А., Позняк Є.Г. Основи математичного аналізу, частина I. Москва «Наука»,1982г. (Глава 12,пп.1, 2, 5).


Схожі реферати:

Навігація