Реферати українською » Математика » Про підстави теорії множин


Реферат Про підстави теорії множин

Страница 1 из 2 | Следующая страница

П. Дж. Коен

Висловлюватися про філософських проблемах теорії множин, — зрозуміло, ні те, що висловлюватися про теорії множин. Я, по крайнього заходу, у тому становищі почуваюся незвично і ніяково. Я гостро відчуваю даремність спроб сформулювати позицію, загальноприйнятну чи навіть багатьом, і водночас усвідомлюю непослідовність і труднощі моєї власної погляду. Звісно ж, ті, хто досі робили цей ризикований перехід від математики до філософії, зазвичай йшов це пізнішому етапі своєї наукової кар'єри. Нарешті, до довершенню труднощів, майже немислимо додати щось нове до цього старому спору. У насправді, схильний думати, що у такі фундаментальні питання будь-які технічні досягнення майже проливають світла — хоча, звісно, вони можуть вплинути розповсюдження тій чи іншій погляду.

І ось, попри всі ці застереження, відчуваю деяке наснагу від можливості висловити своїх поглядів, сподіваюся, дуже догматично, і зазначити на обставини, куди, мабуть, слід зазначити. Фундаментальні відкриття логіці було зроблено так недавно, що ми ще стані розділяти глибоке хвилювання від результатів цих пошуків наосліп. Сплеск дослідницької активності у теорії множин, про яку свідчить нинішня зустріч, можливо, посилює наш ентузіазм. Тон сьогоднішніх філософських дискусій, проте, начебто змінився. Можливо, математики повністю виклалися в шалених суперечках минулого, чи його аудиторія втомилася від полеміки, — хіба що не пішли, зараз прийнято формулювати свою думку, але з намагатися відразу звертати слухача на власне віру. У цьому вся дусі збираюся виступити й я, щиросердно запевнивши слухачів у своїй толерантності до чужим поглядам.

Хоча не уявляю собі, можна було б назвати «істинним» прогресом в підставах математики, дуже цікаво простежити з погляду історика, як висловлювалися по цій проблемі різні покоління, і спробувати вгадати, як офарблював їхні думки дух часу. Сам віддаю перевагу розглядати математичну діяльність як суто людське підприємство, а не як безособове наступ науки, вільною від усіх людських слабкостей. Так, позиція з питань підстав, яку займає той чи інший математик, значною мірою визначається її вихованням і оточенням. Мені здається, що виникло бажання прийняти принципи, які ведуть цікавою й красивою математиці, у минулому безумовно подолало різноманітна й серйозну критику. У цьому вся доповіді хотів би зазначити аналогічні тенденції, які сьогодні.

Перш у центрі суперечок перебували багато запитань, про які я без особливих те що причин висловлюватися не стану, наприклад, законисключенного третього. Хоча і пов'язані з проблемами теорії множин, скажімо, через використаннянепредикативних визначень, сам собою не належить до теорії множин й тут обговорюватися нічого очікувати. Не займатиметься також всіма іншими проблемами законності застосування обчислення предикатів, питаннями про природу формалізації математики суто філософськими питаннями, мало пов'язаними зі специфікою математичного знання. Мені найважливішої проблемою представляється існування нескінченних сукупностей. Ставлення до нескінченним безлічам традиційно було критерієм розмежування математиків. Знамениті логічні антиномії будь-коли грали помітну роль у математиці уже тому, що вони мали нічого спільного з зазвичай використовуваними міркуваннями. Ніколи розглядали все мислимі об'єкти універсуму, довжини описів тощо. Всі ці труднощі належать, власне, розвитку поняття формальної системи. Так само, парадокси Зенона зовсім не від виробляють на нас враження демонстрації серйозних труднощів, заради чого і було придумані. Загалом, схильний вважати, що з них історично пов'язані з перехідним періодом від класичної філософії нинішній математиці.

Немає сумніву, що у деяких випадках нескінченними множинами можна скористатися без особливих побоювань. Вочевидь, усе одно, сказати чи, що деякі властивістю мають все цілі числа або всі елементи безлічі цілих чисел. Так само, сказати, що n належить безлічі парних чисел, усе одно, що сказати «nчетное». Інакше кажучи, усунути використання деяких множин назвою відповідних властивостей. Якби це вдавалося зробити завжди, ми залишилося б мало причин непокоїтися. Теоретично чисел, бажаючи уникнути апеляції до поняття довільного безлічі цілих чисел, ми повинні формулювати принцип індукції окремо кожному за властивості, котре можна висловити. Проте надзвичайна складність теорії множин, особливо їїнепредикативний характер, заважають просто уявляти собі безлічі як стенограму властивостей. Усе-таки найпотужніші і характерні аксіоми теорії множин — аксіоми ступені та підстановки — описують безлічі властивостями, агеделевская теорія конструктивних множин показує, що деяку модель теорії множин можна отримати роботу, розглядаючи взагалі лише безлічі, у сенсі відповідальні властивостями. Те, що аксіома підстановки є насправді нескінченна схема аксіом, в певних аспектах є недоліком. Справді, складається враження, що ми дозволяємо провадити лише деякі властивості, замість вказати фундаментальне опис способів побудови множин. Звісно, усе це пов'язані з теоремоюГеделя про неповноті, за якою ніяка звісноаксиоматизируемая система має не то, можливо повної. Ця теорема є найбільшим на заваді будь-який спроби повністю зрозуміти природу нескінченних множин. Одночасно, показуючи, що "вищі нескінченності позначаються на теорії чисел, бо дозволяють нам доводити недовідні без них затвердження, теоремаГеделя надзвичайно утрудняє відстоювання тієї погляду, що "вищі нескінченності можна просто відкинути. Наша звичка до теоремі про неповноті має заважати нам постійно бачити цю фундаментальну недостатність всіх формальних систем, має значно більше далекосяглі наслідки, ніж незалежність приватних тверджень на кшталт гіпотези континууму. Саме ця є основою мого песимістичного думки у тому, що будь-який технічне досягнення у майбутньому не проллє світла на основні філософські проблеми.

Пересічному математику, бажаючому лише упевнитися у цьому, що її - річ стоїть не так на піску, найпривабливішим способом уникнути труднощів може бути програма Гільберта. З цього погляду математика є формальна гра, у якій слід піклуватися лише про несуперечливості. З часом, коли операційний підхід поширився інші області, скажімо, фізику, привабливість цю позицію, можливо, збільшилася. Можна працювати з безпосередньо даними об'єктами, а математиці до таких ставляться скоріш формальні мови, ніж нескінченні безлічі. Справді,гильбертовская програма формалізації як і залишається єдиною цілком точної (ми говоримо правильної) думками у питаннях. Ось переконливий приклад того, як саме собою перебіг часу мало вплинув поява нові й оригінальних концепцій в підставах. Але, зрозуміло, формалізму притаманні свої труднощі, і перш ніж повернутися щодо нього, ми розглянемо його головну альтернативу, думку, яку можна назвати платонізмом, чому мипредпочтем називати реалізмом.

Прибічник реалістичної філософії повністю приймає цінності традиційної математики. Всі питання типу гіпотези континууму допускають позитивний чи негативна відповідь у світі безвідносно до незалежності він тій чи іншій системи аксіом. Мабуть, більшість математиків воліли б цю думку. У ньому починають сумніватися лише після усвідомлення певних труднощів теорії множин. Якщо такі труднощі особливо бентежать математика, поспішає під прикриття формалізму, воліючи, проте, до спокійного час знаходитися десь між двох світів, насолоджуючись найкращим, що є у обох. Головна перевага реалізму у тому, що він рятує від необхідності обгрунтовувати аксіоми теорії множин. Немає сенсу встановлювати їх несуперечність І що здається мені настільки ж важливою, не доводиться пояснювати, чому саме ця аксіоми виявилися так успішно й достойними спеціального уваги. Відповідно найбільша слабкість формалізму полягає у неможливості пояснити, чому аксіоми теорії множин, може бути які відбивають ніякої реальності, здатні доводити арифметичні затвердження, не доказові з допомогою більшфинитистских коштів. Слабкість, яку, гадаю, змушений буде визнати будь-який реаліст, полягає у нездатності пояснити нескінченну послідовність нових аксіом, на кшталт вищих аксіом нескінченності. Безсумнівно, найзатятіший реалістсодрогнется, розглядаючи кардинали досить недосяжного типу. А ще аксіоми, як аксіома произмеримом кардиналі, які сильнішим за всіх запропонованих аксіом нескінченності та яких, очевидно, немає жодних інтуїтивно переконливих посвідчень у користь прийняття чи відкидання. Недавні результати про незалежність також кидають виклик реалістичної позиції. Хоча деякі відчувають, що якась інтуїтивно прийнятна аксіома зможе зрештою дозволити проблему континууму і такі їй питання, немає анінайменшої сподівання такий результат для аксіоми произмеримом кардиналі, яку ревнітеоретико-множественники, мабуть, змушені будуть визнати як аксіоми, нічого не зведеної. Однак у такому випадку позиція реалістів завидніше, ніж формалістів, бо останніх існують навіть нерозв'язнітеоретико-числовие пропозиції, скажімо,Consis (>ZF). Оптимістична думка реаліста може полягати у цьому, що затвердженняConsis (>ZF + вимірний кардинал) як-небудьсведется до питання несуперечливості досить сильних пропозицій тієї самої типу, що аксіоми нескінченності. Найбільш оптимістичну крапку зору залежить від надії, що кожен питання теорії чисел вирішується питання з допомогою підходящої аксіоми нескінченності.

Історично математика начебто не схильна терпіти нерозв'язні пропозиції. Таку пропозицію то, можливо споруджено на ранг аксіоми та стати широко прийнятим після багаторазового вживання. Така загалом доля аксіоми вибору. Я схильний оцінити цієї тенденції просто форму опортунізму. Зрозуміло, це безособовий і дуже конструктивний опортунізм. Проте, віра у цінність і важливість математики має повністю видалити із нашого свідомості чесну оцінку тривожних проблем. Що стосується гіпотезою континууму (>КГ) ця тенденція може, хоч і малим ймовірністю, привести теорію множин до розщеплення сталася на кілька гілок залежно від прийнятої потужності континууму. Кілька цинічно можна сказати, що опортунізм вирішує філософські проблеми те щоб розвиток математики давало заробіток можливо більшій кількості математиків. Останнім часом багато займалися питаннями незалежності теорії множин. Дивний ефект у тому, що більша частина легкість оперування б цими питаннями призвела добльшей вірі в «реальність» математичних об'єктів теорії множин. Було б воістину сумно, якби та хвиля успіху закінчилася повним зневагою до філософським проблемам гіпотези континууму і питань як непослідовним. Зрозуміло, хороша математика гарна, тоді як філософські дискусії з більшу частину безплідні і вже, звісно, не гарні.

З реалістичної позицією не важко гадати про долюКГ. Здається, лише аксіоми типу аксіоми конструктивності, обмежують природу аналізованих множин, можуть дозволити її. З іншого боку, мало надії, що ця аксіома вжито як інтуїтивно очевидною. Правдоподібніше, що на посаді аксіоми приймуть її заперечення. Виправдання цього й належати до тому, що континуум, даний як безліч всіх підмножин, може бути досягнуть будь-що,строящими кардинали, з менших, з урахуванням аксіоми підстановки. Отже, континуум можна вважати великим, ніж 1; n, > тощо. Зрозуміло, усе це — чиста спекуляція. Технічні наслідки прийняття різних аксіом, що зКГ, вже у певною мірою привернули увагу. Хоча цей робота може становити велику естетичну вартість, найвищою мірою неправдоподібно, що вона може призвести до проясненню фундаментальних філософських проблем.

На той час має бути ясно, що вибираю формалізм. Чи може бути цей вибір мужнім, — мабуть, більшість відомих математиків, котрі висловлюються щодо цього, у тому чи іншого формі відхиляли позиції реалізму. Сформулювати свою думку цілком явно мене спонукала мова Абрахама Робінсона у Єрусалимі в 1964 р. Вона змушує прийняти вінтяжелую ношу. Майже тяжчай решти необхідність допустити, щоКГ, — можливо, перший приходячи на думку важливе запитання про нескінченних безлічах — немає внутрішнього сенсу. Життя було б набагато приємніше, якбигильбертовская програма вражена відкриттямиГеделя. Я твердо вірю, що ваша програма Гільберта у жодному сенсі може бути відновлено. Докази несуперечливості завжди викликають гострунеудовлетворенность та вочевидь зберігають риси зачарованого кола.

Як мовилося раніше, найбільша слабкість формалізму полягає у необхідності пояснити успішність суто формальних аксіом, складових теорію множин. Моя думка, неодноразововиражавшаяся й раніше, у тому, що це аксіоми екстраполюють мову більшфинитистской математики. Тенденції до такого розширенню дуже сильні. Для пояснення дозвольте мені спочатку нагадати ситуацію, у якому рано чи пізно потрапляє кожен логік. Розмовляючи з кваліфікованим математиком, який знає логіки, виявляєш труднощі спілкування, як тільки мова про формальних системах і аналізі структури формул. Математик набагато охочіше говоритиме про моделях який-небудь системи аксіом, ніж про безліч всіх формул, доказових з них. Зрозуміло, відповідно до теоремі про повноті обидві погляду еквівалентні. Проте є природна тенденція замінити обговорення методів і від пропозицій обговоренням підхожих абстракцій, аналізованих як «об'єкти» теорії. Наприклад, розвиток речовинного аналізу, у ХІХ столітті відзначалося зміною ставлень до поняття функції. Спочатку функція розглядали як явне правило,сопоставляющее числа числам. У кінцевомусчете функція стала представлятися цілісним об'єктом безвідносно до явному завданням способу її вираховуватимуть.Непреривная ніде недифференцируемая функціяВейерштрасса придбала самі права існувати, як іsinx. КолиКантор вперше обговорював теорію множин, можливо, значної частини опору було викликана просто думкою, що можна лише про те безлічах, які були явно визначено. Усім ми знаємо, що вищу точку зору Кантора восторжествувала повністю. У кінцевомусчете головною причиною було, можливо, зручність. Набагато простіше говорити про абстрактних безлічах, чому повсякчас піклуватися про їхнє побудові. Свіжіший приклад тієї ж самі тенденції — теорія категорій. Тут кажуть, скажімо, категорію груп. Можна запитати, у чому перевагу висловлювання «G є об'єкт категорії груп» перед вираженням «G — група». Простий відповідь у тому, що перенесення методів з однієї категорії до іншої і навіть доказ загальних теорем про категоріях можна визначити дуже корисні ідеї. І усе ж таки, якщо не помиляюся по браку даних про сучасних течіях, теоретико-множинні труднощі роботи з категоріями не надихнули багатьох фахівців із теорії множин і надали серйозного впливу логіку загалом. Отже, повністю прийнявши дуженепредикативную теорію множин, внутрішню переконливість якої

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація