Реферати українською » Математика » Графіки та їх функції


Реферат Графіки та їх функції

функціональна залежність з-поміж них виражається рівнянням , де з є певна стала величина. Графік зворотної пропорційності є крива лінія (див. додаток 3), звана гіперболою, що складається з двох гілок.

Властивості функції :

>D(f) = (-0) U (0, +);

Якщо з >0, то функція убуває на відкритому промені (-0) і відкритому промені (0, +); якщос<0, то функція зростає на (-0) і (0, +);

Не обмежена ні знизу, ні згори;

Немає жодного найменшого, ні найбільшого значень;

Функція безупинна на відкритому промені (-0) і відкритому промені (0, +);

>Е(f) = (-0) U (0, +);

Якщос>0, то функція опукла вгору прих<0, тобто. наотритом промені (-0), і опукла вниз прих>0, тобто. на відкритому промені (0, +). Якщос<0, то функція опукла вгору прих>0 і опукла вниз прих<0;

Функція маєасимптоти y = 0 і x = 0/

>Квадратичная функція. Функція y =ax2 +bx + з (a, b, з - постійні величини; а 0) називаєтьсяквадратичной. У найпростішому разі y =ax2 (b = з = 0) графік є крива лінія, через початок координат. Крива, службовець графіком функції y =ax2, є парабола (див. додаток 4). Кожна така парабола має вісь симетрії (>OY), звану віссю параболи. Крапка Про перетину параболи з її віссю називається вершиною параболи. Графік функції y =ax2 +bx + з має таку ж формулу, як і графік функції y =ax2 (тим більше ж значенні а), тобто. також є парабола. Вісь цієї параболи як і вертикальна, але вершина лежить над початку координат, а точці

Властивості функціїax2 +bx + з:

Для випадку,а>0

>D(f) = (-+);

>Убивает на промені , зростає на промені ;

>Ограничена знизу, не обмежена згори;

>унаим. =y0,yнаиб. Немає;

>Непреривна;

>Випукла вниз.

Для випадку,а<0

>D(f) = (-+);

>Убивает на промені зростає на промені ;

Не обмежена знизу, обмежена згори;

немає,yнаиб. =y0;

>Непреривна;

6.

>Випукла вгору.

Властивості функції y =ax2:

Для випадку,а>0

>D(f) = (-+);

>Убивает на промені , зростає на промені ;

>Ограничена знизу, не обмежена згори;

>унаим. = 0,yнаиб. Немає;

>Непреривна;

>E(f) = ;

>Випукла вниз.

Для випадку,а<0

>D(f) = (-+);

>Убивает на промені зростає на промені ;

Не обмежена знизу, обмежена згори;

>унаим. Немає,yнаиб. = 0;

>Непреривна;

>E(f) =

>Випукла вгору.

Статечна функція. Зазвичайстепенними функціями називають функції виду , деr - будь-яке дійсне число. Тож якщоr - натуральне число (>r = n), то отримуємо функцію .

Графік статечної функції y =xn у разі парного n (n = 4, 6,8, …) нагадує параболу, а графік статечної функції y =xn у разі непарного n (n = 5, 7, 9, …) нагадує кубічну параболу.

Якщоr = - n, то отримуємо функцію y = x - n, тобто. .

Нарешті, якщоr = 0, тобто. йдеться про головну функцію y =x0, то результаті виходить звичайна функція у = 1, де x 0; графік цієї функції зображений (див додаток 6).

Тепер на функцію y =xr, деr - позитивне чи негативне дробове число. Розглянемо за приклад функцію y =x2,5. Область її визначення - промінь. Побудуємо у цьому промені графіки функцій у =х2 (гілка параболи) і в =х3 (гілка кубічної параболи) - ці графіки зображені. Слід зазначити, що у інтервалі (0;

1) кубічна парабола розташовується нижче, але в відкритому промені (1; +) вище параболи. Неважко переконатися, що графік функції у =х2,5 проходить через точки (0; 0) і (1;

1), як та графіки функцій у =х2, у =х3. При інших значеннях аргументу x графік функції у =х2,5 перебуває між графіками функцій у =х2 і в =х3 (див. додаток 7).

Чому така відбувається? Подивимося:

1). Якщо 0 < x < 1, то 2). Якщо x > 1, то

  

Приблизно так само ж стан справ для будь-який статечної функції виду у =хr, де -неправильнадробь(числитель більше знаменника). Її графіком є крива (див. додаток 8), схожа на гілка параболи. Чим більший показникr, тим “крутіше” спрямована ця крива вгору.

Властивості функції

>D(f) = ;

нічетной, нінечетной;

зростає на ;

не обмежена згори, обмежена знизу;

немає найбільшого значення; унаим. = 0;

безупинна;

>E(f) = ;

опукла вниз.

Розглянемостепенную функцію для випадку, коли - правильна дріб . Усі розглянуте у цій главі щодо функції , чи, що таке саме, має і відношення до будь-який статечної функції виду у =хr, де - правильна дріб. Графік цієї функції зображений (див. додаток 9)

Властивості функції, де :

>D(f) =;

нічетной, нінечетной;

зростає на ;

не обмежена згори, обмежена знизу;

немає найбільшого значення; унаим. = 0;

безупинна;

>E(f) = ;

опукла вгору.

Нам залишилося розглянутистепенную функцію виду . Область її визначення - відкритий промінь. Вище ми побудували графік статечної функції y = x - n, де n - натуральне число. При графік функції y = x - n нагадує гілка гіперболи. Так само справи для будь-який статечної функції виду графік, якій зображений. Зазначимо, що графік даної функції має горизонтальнуасимптоту y = 0 і вертикальнуасимптоту x = 0.

Властивості функції :

>D(f) =;

нічетной, нінечетной;

зростає на;

не обмежена згори, обмежена знизу;

немає ні найбільшого значення, ні найменшого значення;

безупинна;

>E(f) =;

опукла вниз.

Функція .Графиком функції є гілка параболи (див. додаток 10).

Властивості функції :

>D(f) =

Зростає;

>Ограничена знизу, не обмежена згори;

унаим. = 0,yнаиб. = Немає;

>Непреривна;

>E(f) = ;

>Випукла вгору.

7. Функція .Графиком функції є об'єднання двох променів: у = x,х0 і

у = - x,х0 (див. додаток 11).

Властивості функції .

>D(f) = (-+);

>Убивает на промені , зростає на промені ;

>Ограничена знизу, не обмежена згори;

>унаим. = 0,yнаиб. Немає;

>Непреривна;

>E(f) = ;

>Випукла вниз.

3.2Тригонометрические функції

Через те, щотригонометрические функції вивчаються у шкільному програмі, в рефераті ними приділено мінімум уваги. Усі основні тезиуказанни в таблиці (див. додаток 12), які графіки наведено далі (див. додаток 13).


3.3 Криві другого порядку

У минулому параграфі було встановлено, що кожна пряма в прямокутної системі координатОху визначається рівнянням першого ступеня щодо змінних x і в. Також було встановлено, всяке рівняння першого ступеня ох +bу + з = 0 в прямокутної системі координат визначає пряму до того ж єдину, якщоа +b 0. У даний главі ми займемося вивченням ліній визначених рівняннями другого ступеня щодо поточних координат x і в:

>ах +2bху +су +2dх +2eу +f = 0 (1)

Такі лінії називають лініями (кривими) другого порядку. Коефіцієнти рівняння (1) можуть приймати відвідувачів різні справжні значення, виключаючи одночасне рівність а, b і з нулю (інакше рівняння (1) нічого очікувати рівнянням другого ступеня).

Еліпс.

>Эллипсом називають безліч всіх точок площині, сума відстаней від транспортування кожної у тому числі до двох даних точок тієї ж площині, званих фокусами, є незмінною, велика, ніж відстань між фокусами.

>Составим рівняння еліпса з фокусами у цих точкахF1 іF2. І тому виберемо прямокутну систему координат те щоб вісь Ой проходила через фокуси, а початок координат поділяло відрізокF1F2 навпіл (див. додаток 14). ОкреслившиF1F2 =2с, одержимоF1(с; 0) іF2(-с; 0). НехайМ(х; у) - довільна точка еліпса.

Відстаньr1 =F1M іr2 =F2M називаютьсяфокальними радіусами точки М.

Поклавшиr1 +r2 = 2а; (1)

Тоді за визначенням еліпса 2а - незмінною, причому2а>2с, тобто.а>c.

За формулою відстані між двома точками знаходимо

>r1 = іr2 =

>Подставим знайдені значенняr1 іr2 в рівність (1) одержимо рівняння еліпса

Після нескладних перетворень рівняння набуде вигляду

 (2)

>Уравнение (2) називається канонічним рівнянням еліпса.

Дослідження:

Координати точкиО(0; 0) не задовольняють рівнянню (2), тому еліпс, визначається цим рівнянням, не проходить через початок координат.

Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши в рівнянні (2) у = 0, знайдемо x = ± а. Отже, еліпс перетинає вісь Ой в точкахА1(а; 0) іА2(-а; 0). Аналогічно отримуємо точки перетину еліпса з віссюОу:В1(0; b) іB2(0; - b)

>D(y) [-a; a]

>E(y) [-b; b]


При зростанніх від 0 до а величинау убуває від b до 0, а за умов зростанняуот 0 до b величинах убуває від а до 0.

Приватним випадком еліпса є окружність, де а = b.

>Окружность

Як відомо, окружністю називають безліч всіх точок площині, однаково віддалених від даної точки, званої центром.

Нехай дана окружність радіусомr з центром у точціО1(a; b) (див. додаток 15); потрібно скласти її рівняння.

Візьмемо на даної окружності довільну точку М (x; у)

Маємо:О1М =r, тобто. =r

Звідки (>х-а) + (у - b) =r (1)

Отже, рівнянню (1) задовольняють координати довільній точки окружності. Понад те, цьому рівнянню не задовольняють координати ніякої точки, не лежачої на окружності, бо коли

>О1М<r, то (>х-а) + (у - b) <r,

і якщо

>О1М>r, то (>х-а) + (у - b) >r.

Отже, (1) Є рівняння окружності радіусомr з центром у точціО1(a; b). Якщо центр окружності перебуває в осі Ой, тобто. якщо b = 0, то рівняння (1) набуде вигляду

(>х-а) +у =r

Якщо центр окружності перебуває в осі Ой, тобто. якщо b = 0, то рівняння (1) набуде вигляду


>х + (у - b) =r

Нарешті, якщо центр окружності перебуває на початку координат, тобто. якщо а = b = 0, то рівняння прийме (1) вид

>х +у =r

Якщо рівнянні (1) розкрити дужки, перенести усіх членів у ліві частина, й розмістити їх за ступенів x і в, одержимо

>x +y -2ax -2by +a +b -r = 0

Звідси випливає, що рівняння окружності є рівнянням другого ступеня щодо змінних x і в, аби вона була лежить у площиніОху.

У цьому главі було розглянуто основні найпростіші функції, криві другого порядку йтригонометрические функції, як і представлені їх графіки.


Глава IV. Методи побудови графіків функцій

Дослідження функції дає можливість знайти область ухвали і область зміни функції, області їх зменшення чи зростання,асимптоти, інтервалзнакопостоянства та інших. Проте, розглядаючи графіків багатьох функцій часто можна запобігти проведення подібного дослідження, використовуючи ряд методів, спрощують аналітичне вираз функції і які полегшують побудова графіка.Изложению саме таких методів присвячується ця глава, яка може бути практичним керівництвом при побудові багатьох функцій.

4.1 Паралельний перенесення

4.1.1 Перенесення вздовж осі ординат

>f(x) =>f(x) - b

Нехай потрібно побудувати графік функції у =f(х) - b. Цілком ймовірно, що ординати цього графіка всім значень x наb одиниць менше відповідних ординат графіка функцій у =f(х) приb>0 іb одиниць більше - приb<0. Отже, графік функції у =y(х) - b можна було одержати паралельним перенесенням вздовж осі ординат графіка функції у =f(х) наbединиц вниз приb>0 чи вгору приb<0. Переміщення графіка пов'язане його перемальовуванням, що трапляється важко, особливо тоді складних графіків. Перенесення ж самими графіка наbединиц униз чи вгору вздовж осі ординат еквівалентний відповідному протилежного переносу осі абсцис настільки ж одиниць. Саме у такий спосіб ми користуватися. Тоді представивши вихідну функцію як у + b =f(х), сформулюємо таке правило.

Для побудови графіка функції y + b =f(x) слід побудувати графік функції y =f(x) і перенести вісь абсцис наb одиниць вгору приb>0 чинаb одиниць вниз приb<0. Отриманий у новій системі координат графік є графіком функції y =f(x) - b.

4.1.2 Перенесення вздовж осі абсцис

>f(x) =>f(x + a)

Нехай потрібно побудувати графік функції у =f(x + a). Розглянемо функцію y =f(x), що у деякою точці x =x1 приймає значенняу1 =f(x1). Вочевидь, функція у =f(x + a) прийме таку ж значення у точціx2, координата визначається з рівностіx2 + a =x1, тобто.x2 =x1 - a, причому аналізованих рівність справедливо для сукупності всіх значень в галузі визначення функції. Отже, графік функції у =f(x + a) можна отримати паралельним переміщенням графіка функції y =f(x) вздовж осі абсцис влівонаa одиниць приa>0 чи вправо наa одиниць приa<0. Паралельне ж переміщення вздовж осі абсцис наa одиниць еквівалентно переносу осі ординат стільки ж одиниць, але у протилежний бік. Отже, отримуємо таке правило.

Для побудови графіка функції y =f(x + a) слід побудувати графік функції y =f(x) і перенести вісь ординат наa одиниць вправо приa>0 чинаa одиниць вліво приa<0. Отриманий у новій системі координат графік є графіком функції y =f(x + a).

4.2 Віддзеркалення

4.2.1 Побудова графіка функції виду y =f(-x)

>f(x) =>f(-x)

Вочевидь, що функції y =f(-x) і y =f(x) приймають рівні значення точках,абсцисси яких рівні по абсолютну величину, але протилежні за сигналом. Інакше висловлюючись, ординати графіка функції y =f(-x) у сфері позитивних (негативних) значень x дорівнюватимутьординатам графіка функції y =f(x) при відповідних по абсолютну величину негативних (позитивних) значеннях x. Отже, отримуємо таке правило.

Для побудови графіка функції y =f(-x) слід побудувати графік функції y =f(x)

Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Графічне зображення даних
    >ГРАФИЧЕСКОЕ >ИЗОБРАЖЕНИЕ >СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАНИХ 1. >ПОНЯТИЕ Про >СТАТИСТИЧЕСКОМ >ГРАФИКЕ. >ЭЛЕМЕНТЫ
  • Реферат на тему: Графічне рішення рівнянь
    Графічне рішення рівнянь Розквіт, 2009 Запровадження Необхідність вирішувати квадратні рівняння
  • Реферат на тему: Графи
    Зміст Запровадження 1. >Графи, >орграфи, дерева 2. Операції над графами 3. Збереження графів в ЕОМ
  • Реферат на тему: Графи і частково впорядковані множини
    >Графи і лише частково впорядковані безлічі Обидві ці структури є приватними випадками бінарних
  • Реферат на тему: Графи. Основні поняття
    Міністерство освіти і науки Російської Федерації Курський державний технічний університет Кафедра

Навігація