Реферати українською » Наука и техника » «Liber аbaci» Леонардо Фібоначчі


Реферат «Liber аbaci» Леонардо Фібоначчі

Наталя Карпушина

Батько мій, вийшли з Пізи, служив синдиком митниці в Бужи, у Африці, куди він мені взяв із собою з вивчення мистецтва вважати. Дивовижна мистецтво вважати з допомогою лише дев'яти індуських знаків мені до того сподобався, що неодмінно захотів ознайомитися з тим, відомо звідси мистецтві в Єгипті, Греції, Сирії, Сицилії і Провансі. Об'їздивши всі ці країни, я переконався, що індуська система числення є найдосконаліша... Вивчивши грунтовно цю систему все до неї що входить, додавши свої власні дослідження та почерпнуте з «Почав» Евкліда, я зважився написати цей твір.

З передмови до трактату «Liber abaci»

Леонардо Пизанский (прибл. 1180...1240)

Книга-энциклопедия

У 1202 р. народилася знаменита «Книжка абака» Леонардо Пизанского (більше відомої під прізвиськом Фібоначчі – син Боначчи), найбільшого європейського математика епохи Середньовіччя. Цей об'ємний працю, котрий налічує в друкованому варіанті 459 сторінок, стала справжньою енциклопедією математичних знань тогочасна і відіграв важливу роль їх поширенні у країнах Західної Європи на такі кілька століть назад. Робота написана латиною й вважається першим твором що така, автор якого було християнином.

«Liber abaci», чи трактат з математики (саме так можна тільки назва, бо під «абаком» Леонардо розумів не рахункову дошку, а арифметику), відрізнялася повнотою охоплення і глибиною викладу. У ньому докладно роз'яснялися як ази науки про числах і діях з них, а й основи вчення про рівняннях, тобто. алгебри. З іншого боку, в «Liber abaci» було дуже багато завдань практичного змісту, иллюстрировавших різні прийоми рішення, як арифметичні – потрійне правило, правило товариства, метод помилкового стану та ін., і алгебраїчні, що призводять одного або декільком рівнянням.

Саме виклад був словесним, позбавленим звичних для сучасного читача символів і формул, а рішення прикладів і завдань, які одягали, як говоримо сьогодні, приватного характеру, зводилося до опису дій, які мали застосувати у тому чи іншого конкретної історичної ситуації, і часто супроводжувалося роз'ясненнями чи корисними коментарями автора.

Книжка адресовано як ученим мужам, але й широкого кола читачів: купцям, рахівникам, продавцям, чиновникам тощо. У передмові зазначалося, автора написав працю, щоб «рід латинян» не прибував більш як у незнанні излагаемых у ньому речей. Проте задля багатьох, кому призначалася «Liber abaci», книга виявилася важкувата, тому попри популярність і допрацьовану автором видання* 1228 р., не отримала того поширення, якого заслуговувала.

* До нас «Liber abaci» дійшла саме в другому варіанті. Її перше друковане видання тут прийшли у батьківщині математика, Італії, у середині в XIX ст. =

Зате трактат Леонардо прилучив досягненням індійських і арабських математиків європейських вчених і надав значний вплив надалі розвиток алгебри і теорії чисел. «Liber abaci» було застосовано математиками епохи Відродження і Нового часу, зуміли оцінити її за гідності, адже книга відрізнялася як багатством і розмаїттям розглянутих ній прикладів і методів, а й строгістю, доказовістю викладу.

Протягом кількох сторіч за працею Фібоначчі вчені ознайомлювались із двома найважливішими розділами математики – арифметикою і алгеброю і черпали потім із нього завдання й оригінальні на методи вирішення, завдяки чому вже у XV–XVI ст. ті розійшлися по численним італійським, французьким, німецьким, англійським, та і російською рукописам, друкованим книгам і підручниками. Деякі завдання, чи відповідники можна знайти й в «Сумі арифметики» Пачиоли (1494), й у «Приятных і цікавих завданнях» Баше де Мизириака (1612), й у «Арифметике» Магницкого (1703), і навіть у «Алгебре» Эйлера (1768).

Заслуги і досягнення Леонардо Пизанского

Яке було зміст написаної Фібоначчі книги-энциклопедии, у якій налічувалося аж 15 глав? Виявляється, у ній розглядався дуже великий потреби:

індуська система нумерації;

правила дій над цілими числами;

дробу і змішані числа;

розкладання чисел на прості множники;

ознаки подільності;

вчення про ірраціональних величинах;

способи наближеного обчислення квадратних і кубічних коренів;

властивості пропорції;

арифметична і геометрична прогресії;

лінійні рівняння та його системи.

Нарешті, окрема глава присвячувалася квадратним рівнянням і геометричних завданням застосування теореми Піфагора.

Основну частину даних автор копітко збирав, помандрувавши різних країн як купець, щось чого почерпнув від праць Евкліда (а, по суті – зі спадщини античних математиків). Особливої цінності представляло докладний виклад маловідомою тоді Європі індуській (десяткової) системи числення і методів обчислення, дозволяли помітно спростити різноманітні розрахунки й успішно вирішувати велике коло завдань*.

* У його праці Леонардо згадав про різних нумерациях, як відомих тримав на своєму батьківщині, і які у країнах Сходу, що він відвідав, і показав переваги індуській системи числення. А починався трактат так: «Дев'ять індуських знаків такі: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. З допомогою цих знаків і знака 0, що називається арабською «сифр», написати яке завгодно число».

Треба сказати, окремі випадки використання цією системою зустрічалися й раніше. Зі Сходу її привозили прочани, вчені, купці, посланці та військові. Найдавніший європейський манускрипт, у якому згадуються придумані індусами цифри, належить ще до кінця XX ст. Проте десяткова система числення надто повільно проникала до західних країн і має там стала вельми поширеною лише добу Відродження.

Наголосимо також на, саме Фібоначчі європейці ознайомилися з загальними правилами рішення квадратних рівнянь, описаними у своєму трактаті аль-Хорезми.

Але Леонардо Пизанский цей був автором-укладачем енциклопедії «Liber abaci». У ньому математик відбив й одержують результати власних наукових досліджень. Зокрема, у тому праці він вперше:

сформулював правило перебування суми членів довільній арифметичній прогресії;

розглянув возвратную послідовність, у якій кожне число, починаючи з третього, дорівнює сумі допомоги двох попередніх йому чисел;

ввів термін «приватне» для позначення результату розподілу;

описав спосіб приведення дробів до спільного знаменника з допомогою перебування найменшого загального кратного знаменателей (більш раціональний, ніж використовували арабські математики).

З іншого боку, Фібоначчі самостійно розробив ряд алгебраїчних прийомів вирішення завдань, досліджував деякі рівняння вищих ступенів, що зводяться до квадратним, і серед європейських учених підійшов до впровадження негативних чисел та його тлумаченню як боргу, що з тих часів було величезним досягненням.

Універсальний задачник

Чималу цінність «Liber abaci» надавало його присутність серед ній безлічі різноманітних завдань, одні з яких запозичені із арабських та інших джерел, інші придумані самою авторкою. Велику групу становили суто арифметичні і алгебраїчні приклади: виконання дій над числами, вилучення коренів, рішення рівнянь чи систем тощо. У іншу групу входили сюжетні завдання (зокрема пов'язані з життєвими ситуаціями): на змішання, визначення вартості чи кількості купленого товару, розділ майна, і різноманітних фінансові розрахунки для людей (завдання комерційної арифметики) тощо.

Наприклад, до завдань на змішання ставилися два виду завдань «на сплави»: визначення проби сплаву, зробленого з деяких інших сплавів відомого складу і кількість, і з'ясування того, скільки кожного з наведених даних сплаву знадобиться, щоб отримати сплав потрібної проби. А одній з типових завдань комерційної арифметики була завдання на розділ деякою суми пропорційно часток учасників.

У трактат Фібоначчі ввійшли також текстові завдання відтворення певного дії, наприклад перебування числа з його частини. Ось із них. Четверта й третя частини дерева перебувають під землею і вони становлять 21 фут. Чому дорівнює довжина всього дерева?

Деякі з порушених у праці Леонардо питань у час привертали увагу вчених-математиків і неодноразово згадувалися на більш пізніх творах. Так, зокрема, з популярною середньовіччі завданням на пошук найменшого набору різних гир, з допомогою якого врівноважити будь-який вантаж з целочисленной масою, не яка перевершує заданого числа.

Але найбільше відомої за сьогодні залишається, ясна річ, завдання про розмноженні кроликів, вперше яка з'явилася саме у «Liber abaci». Питається, скільки пар кроликів народиться протягом року від однієї пари, якщо кролики починають приносити потомство з другого місяця й кожна пара за місяць виробляє світ ще одне пару? Її вирішення привело Фібоначчі на відкриття чи ні самій знаменитої числової послідовності

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ,

названої згодом іменем Тараса Шевченка і породила безліч досліджень, особливо що з вивченням властивостей золотий пропорції.

Знайомі завдання з трактату Фібоначчі

Нині ж поговоримо докладніше про деякі арифметичних і алгебраїчних завданнях з «Liber abaci», із якими мають легко впоратися (на відміну перших читачів книжки Леонардо) і показали нинішні школярі. Завдання ці цікаві як, котрий іноді й не так своїми рішеннями чи конкретним математичним змістом. Багато в чому вони цікаві з погляду, бо мають свою біографію, склали іспит часом, «прижилися» і благополучно сягнули нашого часу. До того ж, розглядаючи запропоновану кимось завдання, не буває зайве ознайомитися з чужою міркуванням і порівняти його зі своїм рішенням. Тим паче, коли читача автором поділяють століття, або навіть тисячоліття!

Завдання 1. Знайти число, 19/20 якого рівні квадрату самого числа.

Відповідь: 19/20.

Коментар. Відповідь очевидна кожному, хто знайомий із поняттям квадрата числа. Вирішуючи завдання за допомогою квадратного рівняння 19/20 x = x2 ми матимемо ще одне що задовольнить умові завдання число – 0.

Проте автор, очевидно, мав на оці число, не на нуля. Що взагалі-то не дивно. За часів Леонардо Пизанского нуль не зізнавався за корінь рівняння, тобто. за число. Втім, це заважало деяким математикам і по, і після Фібоначчі виконувати найпростіші операції з нулем, який сприймався ними вважається символом, обозначавший «ніщо».

Завдання 2. Хтось помістив пару у якомусь місці, обгородженому зусебіч стіною, щоб отримати, скільки пар кроликів народиться причому у протягом року. Природа кроликів така, що за місяць пара кроликів виробляє світ інше подружжя, а народжуються кролики з другого місяця. Скільки пар кроликів буде за рік?

Відповідь: 377 пар.

Коментар. Навіть самої завдання вистачило б Фібоначчі, аби залишити слід історії науки. Саме із нею сьогодні найчастіше й згадується ім'я вченого. Вирішуючи завдання про розмноженні кроликів, Леонардо описав нескінченну числову послідовність (an), будь-який член якої, починаючи з третього, виражається через попередні члени:

a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an, де n

Схожі реферати:

Навігація