Реферати українською » Наука и техника » Що таке стохастический резонанс?


Реферат Що таке стохастический резонанс?

Страница 1 из 2 | Следующая страница

И.П.Иванов

Стохастический резонанс - що таке це словосполучення? "Стохастический" - це належить до області хаосу, до безладного поведінці, до процесу, динаміка якого випадкова й непередбачувана. Відомим прикладом такого процесу є броунівський рух. Слово "резонанс" у найзагальнішому сенсі означає сильний відгук будь-якої системи на невеличке зовнішнє вплив (знаменитий приклад зі військової історії: руйнація мосту тому, що за ним в ногу пройшла рота солдатів). Важливим є те, що така сильний відгук - вибірковий, тобто він виникає лише за певних параметрах зовнішнього впливу. Наприклад, при вимушеному коливанні маятника резонанс виникає, якщо частота зовнішнього впливу порівнюється зі власної частотою коливань системи.  

Разом ці два слова означають дуже й, здавалося б, суперечить здоровому глузду явище, яке справді існує у багатьох дуже різних системах і навіть, як з'ясувалося, віддавна використовується Природою. Дивно і те, хоча це явище досить просте (щодо його розуміння вистачить шкільного курсу механіки), він був відкритий і осмислене нещодавно, в 80-ті роки.  

Суть явища стохастичного резонансу у тому, що додавання до системи шуму, тобто. хаотичного руху, не зменшує, а навпаки посилює відгук системи на слабеньке періодичне вплив. Інакше кажучи, шум не придушує сигнал, а допомагає йому проявитися! І що цікаво - найсильніший ефект виникає при деякою цілком певної, оптимальної інтенсивності шуму.  

Як таке то, можливо? Спробуємо пояснити це максимально докладно.  

Бистабильная система під впливом зовнішньої сили. 

Давайте розглянемо спочатку якусь бистабильную систему. Слова "бистабильная система" свідчать самі за себе - це система з цими двома положеннями стійкого рівноваги. Простий механічний приклад - рух матеріальної точки в потенціалі з цими двома мінімумами (див. рис.1а). Коли частку діє і сила тертя, то ясно, що які ми б вибрали початкові умови, коливання, зрештою, затухнут, частка "звалиться" однієї із потенційних ям і перебуватиме там необмежено довго.  

А, щоб частка все ж потрапила до іншої потенційну яму, треба докласти зовнішню силу. Якщо це сила досить великий, вона "витягне" частку з першого ями і перекине його в другу. Легко зрозуміти, наскільки великою є мусить бути ця сила. Мовою потенціалу (у цьому тексті потенціал використовують як синонім потенційної енергії) "докласти зовнішню силу" означає додати лінійно зростаючий потенціал, як і показано на рис.1б. Якщо V(x) - бистабильный потенціал, то зовнішня сила повинна перевершувати величину F0 = |V''(x)|, взятої у точці перегину, тобто. там, де повертає сила, створювана потенціалом, найбільша. Тоді сумарний потенціал модифікується оскільки показано малюнку, і частка скотиться на другу яму.  

Якщо тепер зовнішня сила буде періодична за часом, то результаті наша частка буде "скакати" з однієї ями до іншої і навпаки. Отже, що ми маємо: наша бистабильная система відгукується сильне зовнішнє вплив. У цьому частота, з якою система перескакує вже з стійкого стану до іншого, збігаються з частотою зовнішнього впливу.  

Поки я тут немає нічого надзвичайного. Якщо зовнішнє вплив дуже сильний, то система буде слухняно повторювати зміни коливання цієї сили.  

Подивимося, що, якщо зовнішнє вплив не буде таким сильним, тобто. F < F0. Тоді частка зможе залишити яму так і залишиться у ній, попри зовнішнє вплив. У результаті отримали, що наш система має якимось порогом чутливості: при зовнішньої силі F > F0 система починає перескакувати вже з стану до іншого із частотою зовнішньої сили, а при F < F0 система має не відчуває зовнішнє вплив зовсім. (У принципі так можна заперечити, у цьому разі частка коливатиметься під впливом зовнішньої сили всередині однієї ями. Проте найчастіше, спостерігаючи реальну бистабильную систему, ми можемо сказати лише одна - у якому з двох станів вона. І тут, при F < F0 ми просто бачити, що систему "завмерла" у одному з своїх положень та все. Саме такою випадок маємо у вигляді.)  

Отже, висновок: у бистабильной системи існує певний поріг чутливості до зовнішніх впливів. Занадто слабкі, тобто. подпороговые впливу залишаються системі непоміченими.  

Постає питання: невже не змусити систему відчувати подпороговый сигнал? Виявляється, можна! І можливість цю надає саме стохастический резонанс.  

Відступ: трохи про функціях. 

Оскільки нині йдеться про випадкової (хаотичної) зовнішньої силі, корисно попередньо обговорити цей термін детально.  

Отже, що таке випадкова величина, а точніше, стосовно нашої завданню - хаотично змінюється у часі функція? Приміром, чи є функції, зображені на рис.2а, випадковими? Що справжнім шумом, що - сумішшю періодичного сигналу із гамом? Математика, а точніше, її гілка під умовною назвою "Теорія сигналу", надає чіткі відповіді опікується цими питаннями. Тут ми опишемо лише з підходів, саме, як за допомогою перетворення Фур'є відокремити періодичний сигнал від шуму.  

Нехай ми маємо функція y(t), яка якось коливається щодо нуля. Приклади таких функцій таки представлені на рис.2а. Оскільки y(t) коливається близько нуля, що його середнє  

T

< y(t)> = тy(t)dt ~ 0.

0

Тут T - повне час спостереження сигналу; вважатимемо, що T вулицю значно більше, ніж характерні періоди коливань. Символ "~ 0" означає "набагато меншою твори амплітуди на T". Надалі, величини, взяті на такі кутові дужки, означатимуть усереднення за часом як що був тут інтеграла.  

Давайте тепер усредним y(t), домноженную на cos(wt) із певною частотою w. Для різних w ми при інтегруванні отримувати різних значень. Інакше кажучи, ми матимемо якусь функцію, яка від w:  

f(w) = <y(t)cos(wt)>.

Ця функція називається фурье-образом вихідного сигналу y(t), а перехід від перемінної t до перемінної w це і є перетворення Фур'є.  

Спостерігаючи фурье-образ функції, можна визначити, чи в сигналі якась періодична складова, чи це чистий шум. Справді, нехай наш сигнал - це чистий косинус із частотою w0: y(t) = acos(w0t).

Тоді, при обчисленні ми матимемо f(w) ~ 0 для будь-яких w, не рівних w0, ще більшу величину aT/2 при w=w0. Фурье-образ f(w) у разі виглядатиме, як показано на мал.2 у верхній ряду.  

Якщо ж наш сигнал є чистий шум, то інтеграл даватиме якусь, приблизно постійну величину для будь-яких значень w. Це і ознака те, що маємо так званий "білий шум", тобто. шум, у якому рівноправно наявні всі частоти (мал.2, середній ряд). (Насправді, треба, звісно, працювати акуратніше, саме, усреднять і з косинусом, і з синусом, і виділяти амплітуду і фазу фурье-образа, але нашим цілей це непринципово.)  

Якщо ж тепер змішати шум з періодичним сигналом, то фурье-образ виглядатиме, як і нижньому ряду мал.2. Ми побачимо, над рівним фурье-образом білого шуму височітиме якась "гірка". Її ситуацію і висота дозволять визначити частоту і амплітуду періодичної компоненти сигналу, спрятанной в шумі. Важливо також і те, завдяки фурье-преобразованию можна детектувати періодичний сигнал, навіть якщо його амплітуда набагато менше амплітуди шуму.  

Бистабильная система під впливом випадкової сили. 

Отже, розглянемо знову нашу бистабильную систему за відсутності зовнішніх сил. Система завмерла у одному з положень рівноваги. Нехай тепер у частку діє випадкова сила, тобто давайте накладемо на систему випадкове зовнішнє вплив, інакше кажучи, шум. Під впливом цієї сили частка буде випадково коливатися. У цьому може й отже частка, блукаючи за однією потенційної ямі, раптом перескочить і в другу. Середнє час між такими перескоками одно:  

t = exp(DV / D).

Тут DV - висота бар'єра, котрий поділяє дві потенційні ями, а D - інтенсивність шуму. Очевидно, що замість сильніше шум, тим менше цей час, тобто. тим більше частка перескакує з однієї ями до іншої. Якщо зобразити залежність координати частки від часу, вийде приблизно така ситуація, як у рис.3.  

Суть й властивості стохастичного резонансу. 

Тепер - заключний акорд. Що буде, якщо зовнішньому галасу й ті слабенький, подпороговый періодичний сигнал? Зауважте, подпороговый, тобто. що сам собі, без шуму, не міг би викликати перехід системи вже з стану до іншого!  

І тут частка продовжуватиме скакати з однієї ями до іншої, але характер цього процесу зміниться: у ньому з'явиться періодична компонента з періодом, рівним періоду зовнішнього слабкого сигналу. Тобто, переходи здійснюються з допомогою випадкової сили, а періодична добавка лише "модулює" ефект (тобто. додає своє власне періодичність). Саме такими це подпороговое обурення і виявляється: шум хіба що усуває нездоланний раніше потенційний бар'єр і це змушує систему відгукуватися на подпороговый сигнал. Це і явище стохастичного резонансу.  

Найцікавіша особливість стохастичного резонансу - те, що існує певна оптимальна інтенсивність шуму, коли він відгук системи на періодичний сигнал найсильніший. Як визначити, наскільки великий цей відгук, ми знаємо. І тому вибудувати залежність координати частки від часу й з допомогою перетворення Фур'є виділити періодичну складову сигналу. Тоді амплітуда додаткового "горба" фурье-образа (мал.2) служитиме кількісної характеристикою чутливості системи. Справді, що стоїть горб, тим більше проявляється зовнішній періодичний сигнал рухається частки.  

Проиллюстрировать цю особливість стохастичного резонансу допоможе рис.4. Нею показано залежність координати частки від часу за одного й тому самому слабкому періодичному сигналі, але за різних интенсивностях шуму. Значення координати +1 і -1 відповідають дну першої та другої потенційної ями. Очевидно, що коли і інтенсивність шуму мала, частка тривалий час перебуває лише у потенційної ямі, як перестрибнути до іншої (рис. 4, нижній графік). Зовнішній періодичний сигнал тут аж ніяк не проявляється. Коли ми збільшуємо інтенсивність шуму до оптимальної, частка під сумарним впливом шуму й періодичної сили буде одночасно стрибати з однієї ями до іншої (рис.4, середній графік). Явно видно періодична складова відгуку системи, період якої збігаються з періодом зовнішньої сили. Нарешті, при подальшому посиленні шуму рух частки ставатиме більш і більше хаотичним; періодична компонента в відгуку зменшуватиметься (рис.4, верхній графік). Типова залежність відгуку системи від інтенсивності зовнішнього шуму показано на див. мал.5. Зрозуміло видно, що з деякою інтенсивності відгук максимальний.  

Залишилося тепер зрозуміти, чому взагалі існує оптимальна інтенсивність шуму й чого вона має дорівнювати. Як бачили вище, заданої інтенсивності шуму відповідає вельми конкретна середнє час перескока t з однієї ями до іншої. Отож, умова на оптимальну інтенсивність шуму таке: треба, щоб викликаного цим гамором час перескока дорівнювало половині періоду слабкого періодичного обурення:  

t = T/2.

Як можна було зрозуміти ця потреба? Можна умовно сказати, що, почекавши час t, частка "дозріла" у тому, щоб стрибнути на другу яму. З іншого боку, знаємо, коли ми докладаємо зовнішню силу, ми злегка "наклоняем" потенціал оскільки показано на див. мал.6. Тобто, ми ж допомагаємо частинки перестрибнути до іншої яму, і можливість стрибка в останній момент найбільшої зовнішньої сили дуже великий. Через полпериода T/2, коли частка вже "дозріла" для перескока знову на першу яму, потенціал вже нахилився у бік, знов-таки сприяючи перескоку. Саме тому на той час частка найохочіше робить стрибок.  

Отже, тому, що "дозрівання" і період зовнішньої сили синхронізовані, виникає найсильніший відгук системи на зовнішнє періодичне обурення. Якщо такі процеси не синхронізовані, чутливість до слабкої періодичної силі зменшується. Перед нами - типовий приклад виборчого впливу, тобто. резонансу.  

Додатка: льодовикові періоди землі. 

Історично, проблема, що з періодичністю наступу льодовикових періодів, була найпершою завданням, до розв'язання якого було залучено явище стохастичного резонансу. Оскільки вона становить дуже цікавий приклад того, як спрощена механічна модель застосовується у дуже далекою від механіки області, ми зупинимося у ньому докладніше.  

Суть проблеми ось у чому. З геологічних даних відомо, що льодовикові періоди Землі наступають приблизно кожні 40 тис. років. Це наслідок те, що кут нахилу осі власного обертання Землі до площині екліптики (рівний нині 23,5°) коштує від 0° до 90° з періодом 41000 років (рис.7а). У цих двох крайніх положеннях Сонце опромінює полярні області по-різному, що зумовлює освіті або до зникнення значних континентальних оледенений в полярних областях.  

Проте це ще не вся щоправда. Як показав статистичний аналіз, в послідовності оледенений явно видно додаткова періодичність з дуже характерною періодом ~ 100 тис. років. Спостереження дуже інтригуюче, адже відомий процес у динаміці Землі з такою тимчасовим масштабом - це коливання эксцентриситета земної орбіти, викликане гравітаційним обуренням інших планет (рис.7б). Эксцентриситет - це числової параметр, що характеризує витягнутість еліпса; він дорівнює відношенню відстані між двома фокусами еліпса, поділеній з його велику вісь. З погляду глобального клімату, ексцентриситет показує, наскільки зима (усереднена на планеті) холодніше літа.  

Отож, проблема у тому, що це коливання эксцентриситета дуже малі (нині ексцентриситет дорівнює 0,0167). Виникаючі у своїй коливання потоку сонячної енергії, попадающей на Землю протягом року, значно менше, ~ 0,1%. Невже такі слабкі коливання можуть спричинить відчутним змін клімату?  

Саме з пояснення цього була вперше залучена модель стохастичного резонансу. Роль бистабильной системи у цьому відіграє Земля. Два її стійких становища рівноваги -

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація