Реферати українською » Наука и техника » Экспоненциальный зростання


Реферат Экспоненциальный зростання

Якщо приріст чисельності популяції пропорційний кількості особин, чисельність популяції зростатиме експоненціально.

Вислів «експонентний зростання» увійшло до нашого лексикону для позначення швидкого, зазвичай невтримного збільшення. Воно часто використовується, наприклад, в описах стрімкого зростання кількості міст або збільшення чисельності населення. Однак у математиці цей термін має точний зміст і позначає певний вид зростання.

Экспоненциальный зростання має місце у тих популяціях, у яких приріст чисельності (число народжень мінус число смертей) пропорційний числу особин популяції. Для популяції людини, наприклад, коефіцієнт народжуваності приблизно пропорційний кількості репродуктивних пар, а коефіцієнт смертності приблизно пропорційний кількості людей популяції (позначимо його N). Тоді, в розумному наближенні,

приріст населення = число народжень — число смертей

= rN

(Тут r — так званий коефіцієнт пропорційності, що дозволяє нам записати вираз пропорційності як рівняння.)

Нехай dN — число особин, добавившихся до популяції під час dt, тоді тоді як популяції загалом N особин, то умови для експоненційного зростання задовольняться, якщо

dN = rN dt

Коли XVII столітті Ісаак Ньютон винайшов диференціальний літочислення, знаємо, як вирішувати це рівняння для N — чисельності популяції у будь-яку довільну заданий час. (Довідково: таке рівняння називається диференційним.) Ось його прийняти рішення:

N = N0 ert

де N0 — число особин в популяції початку відліку, а t — час, що минув від цього історичного моменту. Символ е позначає таке спеціальне число, воно називається підставу натурального логарифма (і близько одно 2,7), і весь права частина рівняння називається экспоненциальная функція.

Щоб краще зрозуміти, що таке експонентний зростання, уявіть собі популяцію, що складається спочатку з однієї бактерії. Через певний час (кілька годин чи хвилин) бактерія ділиться надвоє, цим подвоюючи розмір популяції. Через наступний проміжок часу кожна з цих двох бактерій знову розділиться надвоє, і величину популяції знову подвоїться — тепер вже чотири бактерії. Після десяти подвоєнь здадуть вже понад тисячу бактерій, після двадцяти — понад мільйон, тощо. Якщо з кожним розподілом популяція подвоюватиметься, її зростання триватиме нескінченно.

Існує переказ (швидше за все, яка відповідає дійсності), нібито людина, який вигадав шахи, доставив цим таке задоволення своєму султанові, що той пообіцяв виконати будь-яку прохання. Людина попросив, щоб султан поклав на першу клітину шахівниці одне зерно пшениці, другу — два, на третю — чотири континенти і таке інше. Султан, вважаючи ця потреба незначним проти наданою їм послугою, попросив свого поданого придумати іншу прохання, але він відмовився. Природно, до 64-му подвоєнню число зерен стало таким, що в усьому світі нема б потрібної кількості пшениці, щоб задовольнити це прохання. У тому версії легенди, відому мені, султан на той час наказав відрубати голову винахіднику. Мораль, який у мене кажу моїм студентам, така: іноді годі було бути надто розумним!

Приклад з шахівницею (як і з уявлюваними бактеріями) показує нам, що її жодна популяція неспроможна зростати вічно. Адже рано чи пізно вона просто вичерпає ресурси — простір, енергію, воду, що догоджає. Тому популяції можуть рости по експонентному закону лише певний час, і раніше чи пізно їх зростання яких повинне сповільнитися. Треба лише змінити рівняння те щоб з наближенням чисельності популяції до максимально можливої (яка може підтримуватися довкіллям) швидкість зростання сповільнювалася. Назвемо цю максимальну чисельність популяції K. Тоді видозмінене рівняння матиме такий вигляд:

dN = rN(1 — (N/K)) dt

Коли N значно менше K, членом N/K можна знехтувати, і ми повертаємося до початкового рівнянню звичайного експоненційного зростання. Та коли N наближається до свого максимального значення K, значення 1 — (N/K) котиться до нуля, відповідно котиться до нуля і приріст чисельності популяції. Загальна кількість популяції у разі стабілізується і залишається лише на рівні K. Крива, описувана цим рівнянням, і навіть саме рівняння, мають кілька назв — S-кривая, логистическое рівняння, рівняння Вольтерра, рівняння Лотка—Вольтерра. (Віто Вольтерра (1860–1940) — видатний італійський математик і викладач; Альфред Лотка (1880–1949) — американський математик і страхової аналітик.) Хай вона називалася, це — досить просте вираз чисельності популяції, різко зростаючій експоненціально, та був замедляющейся з наближенням до якомусь межі. І вона значно краще відбиває зростання чисельності реальних популяцій, ніж звичайна экспоненциальная функція.

Список літератури

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту http://elementy.ru/

Схожі реферати:

Навігація