Реферати українською » Педагогика » Методика навчання рішенню задач на побудову перерізів многогранників в 10-11 класах


Реферат Методика навчання рішенню задач на побудову перерізів многогранників в 10-11 класах

Предыдущая страница | Страница 2 из 2
точку перетину прямий (>HF) з прямою (>DC);(DD1).

КрапкиA1 іB1 розташовані відповідно на ребрах АС і АВ пірамідиABCD.Найти точку перетину прямий (>A1B1) з прямою (ЗС).

Дана пірамідаABCDS.Найти точку перетину прямий (>AS) з прямою (ВК), деК-точка що належить ребру CS.

Дана пірамідаABCDS. Знайти точку перетину прямий (АВ) з прямою (>DH), деH-середина ребраBC.


Завдання: Побудувати лінію перетину заданихпроектирующих площин

>Рис. 6-а

Нехай які проектують площині заданопроектирующими прямимиАА1 іВВ1ТТ1 іРР1. Однією точкою лінії перетину заданих площин буде точкаХ1 —точка перетину слідів обох площин. У оригіналі лінія перетинупроектирующих площин будепроектирующей прямий, як лінія перетину двох площин, проведених через паралельні (які проектують) прямі. Отже, і зображенні пряма ХХІ, через яку перетинаються які проектують площині, буде паралельнаАА1.

Як що завдання, і решти слід розглядати через можливо велику сукупність окремі випадки.Проектирующие прямі, що визначають які проектують площині, можуть розташовуватися отже лінія перетину площин перебуватиме або між одній з парпроектирующих прямих, або між обома парами.Проектирующие площині слід ставити як однієї пароюпроектирующих прямих, а йпроектирующей прямий і точкою, що у основний площині.

В усіх випадках рішення слід пов'язувати з побудовами в оригіналі. Якщо, наприклад,проектирующую площину розглядати, як частокіл з щільнопримикающими друг до друга колами, то учні повинні розуміти, що лінію перетину буде колом, які перебувають це й У першій і в другій огорожах. Лінію перетинупроектирующих площин можна як стик двох аркушів фанери, є образамипроектирующих площин.

Завдання: Побудувати лінію перетину двох довільно заданих площин

Рішення завдання у відповідність до виставлені принципами, розуміння яких учням на цей момент маєбить.подготовлено, на повинен вже викликатизатруднений..В одній з заданих площин (див. мал.5), наприклад, у площині(1), беруться дві довільні допоміжні пряміа(а) ів(в) і будуються точки — точкиХ(Х1) іY(Y1) — перетину цих прямих з площиною(1). ПрямаXY(X1Y1)— бажана.

>Рис. 5

У повсякденному практиці як допоміжних прямих вибирають ті, що є вже в кресленні: сліди площин, прямі, зумовлені точками, які задають площину. Одна точка лінії перетину площин, заданих на рис. 6, окреслюється точка перетину слідів площин — точкаХ(Х1). Як другу допоміжної прямийа(а,) узята пряма, що упроектирующей площиніРP1ТT1.

>Рис. 6

Для закріплення вирішення цього завдання можна запропонувати таку систему завдань:

>Плоскость задана трьома точками, розташованими на суміжних бічних ребрах піраміди (призми). Знайти лінію перетину цьому відношенні з площиною нижнього підстави.

>Плоскость задана трьома точками, розташованими на не суміжних бічних ребрах піраміди, під аркушами якої лежить чотирикутник. Знайти лінію перетину цьому відношенні з площиною нижнього підстави.

>Плоскость задана трьома точками, дві їх розташовані на півметровій суміжних бічних ребрах піраміди, а третя – на бічний межі піраміди. Знайти лінію перетину цьому відношенні з площиною нижнього підстави.

Дана чотирикутна пірамідаSABCD. Побудувати лінію перетину двох її гранейASB іCSD

Дана чотирикутна призмаABCDABCD. Знайти лінію перетину площині, заданої точкамиВ,К,L, деВ-вершина підстави, точка K належить ребруDD1,точка L належить ребруCC1,с площиноюA1B1C1D1.

Крапки Про і О1 є точками перетину діагоналей підстав куба. Знайти лінії перетину площині, заданої точками Про,О1,С з бічними гранями.

>ДаноSABCD - піраміда. Крапка М- середина DC. Знайти лінію перетину площині, заданої точкамиA,H,S,с площиною SBC.

Для повноцінного вирішення завдань на побудові корисно виходячи з двох опорних завдань (перебування точки перетину з площиною і лінії перетину площин) розглянути завдання.

Завдання 1. Знайти точку перетину площиніQ, заданої слідом ВР і точкоюА(А1), зпроектирующей прямийDD1 (рис.7а).


Проводимо площину R через точкуА(А1) і цю прямуDD1 і лініїAM перетину площинQ і R знаходимо потрібну точкуХ(Х1).

>Рис7а


Завдання 2. Побудувати точку перетину трикутникаABC(A1B1C1) з прямоюDE (>D1E1)

>Рис7б

Знаходимо лініюLM перетину площині трикутника ABC зпроектирующей площиною R, що проходить через цю прямуDE.

У перетині прямихLМ іDE, що у площині R, знаходимо потрібну точку X, а її кресленні визначається своїм зображенням і зображенням своєї проекціїХ1 на площину П.

Завдання 3. Визначити точку перетину площиніQ, заданої слідом АВ і точкою З, з прямоюDE (рис7в).

Через точку З, приналежну площиніQ, проводимо допоміжну площину P.S, паралельнупроектирующей площині R, що проходить через цю прямуDE(LC1 ||D1E1). Потім знаходимо лініюLC перетину площині P.S з площиноюQ. Далі будуємо прямуMX перетину площин Про іR(MX ||LC).

Крапка X є бажана точка перетину, оскільки він одночасно належить площиніQ і прямийDE.


>Рис7в

Рішенням завдання закінчується обгрунтування принципів побудови прямих, якими перетинаються площині, і точок перетину прямих і площин. Однак у класі слід вирішити ще кілька завдань, вирішення яких зводиться побудувати крапок і ліній перетину прямих і площин.

Отже, щодо завдань на побудова напроекционном кресленні учні мусимо знати, що:

Крапку простору вважають заданої напроекционном кресленні, якщо задано зображення цієї крапки й зображення се проекції на основну площину.

Пряму вважають заданої напроекционном кресленні, якщо задано дві її точки або якщо задано її зображення і зображення її проекції на основну площину.

>Плоскость вважається заданої напроекционном кресленні, якщо задано трикрапку цьому відношенні, не що лежать в одній прямий, чи пряма і край за її межами, чи дві пересічні прямі, чи дві паралельні прямі.

Коли всі крапки, прямі і в пласкості зображеною постаті є заданими напроекционном кресленні у зазначеному сенсі, то таке зображення називається повний та можна у ньому побудовою відшукати всенепустие перетину прямих і площин зображеною постаті, т. е. вирішувати різні позиційні завдання.


Рішення завдань на побудова перетинів

Робота з ознайомленню учнів з проекційним кресленням може бути продовжена під час навчання рішенню завдань на побудова перетинів багатогранників.

Навчання рішенню завдань на побудова перетинів робити наступного плані.

По-перше, початкове ознайомлення учнів з методами побудови перетинів слід проводитися метрично певних зображеннях. Зручно, наприклад, це проробити на зображенні куба і правильного тетраедра, супроводжуючи побудови на зображенні демонстрацією відповідних відносин на моделі. Усе це сприятиме зміцненню зв'язку зображення оригіналу.

По-друге, точки, що визначають січну площину, слід ставити наскільки можна при різноманітне взаємній розташуванні цих крапок і багатогранника, перетин якого будується.

>Рис. 7


На див. мал.8Приведена послідовність перших завдань.Секущая


площину цих кресленнях задається точкамиК(К1),М(М1) іР(Р).

>Рис. 8

Якщо навчання відбувалося рішенню як з завдань, і кожній із наступних учням слід виділяти окремі етапи рішення, які становлять відомі вже учням завдання напроекционном кресленні.


>Рис. 9-а

>Рис. 9 б

Для побудови перерізу куба, що був на рис. 9-а, досить, наприклад, знайти точку перетину ребраСС1 з площиноюКМР (>К1М1Р1). Метод побудови цієї точки зручно розкрити учням з прикладу рішення вже відомої ним завдання: напроекционном кресленні (рис.9б) побудувати точку перетину площині(1)ипроектирующей прямийСС1 На допоміжному кресленні варто лише наскільки можна точно відтворити взаємне розташування точокК(К1),M(M1),P(P1) і прямийСС1.

У плані забезпечення наступності у рішенні завдань напроекционном кресленні важливо наголосити думку, що на посаді допоміжної площиніСС1КК1 міг би вступити довільна площину, проведена через реброСС1. Разом про те учнів відразу слід привчати до раціональному вибору допоміжних площин.

При побудові перерізу куба (рис.10а) площиноюКМР (>К1М1Р1) годі було перешкоджати застосуванню загального методу (рис. 10б). Проте що завдання слід вести до того часу, поки учні не здогадаються, що підходящої допоміжної площиною буде площину межіBB1CC, (рис.10в), а чи не площиніВВ1ЕЕ1.

рис.10а

>Рис. 10б рис.10в


>Рис. 11

У той самий час для побудови перерізу правильної шестикутній призми, висота якої дорівнює боці підстави, площиноюКМР (>K1M1P1) зручніше прийняти у ролі допоміжної площинуВВ1ЕЕ1 (рис. 11). І тут з допомогою однієї допоміжної площині одночасно будуються точки перетину січною площині з цими двома ребрами призми.

Такий підхід до рішенню завдань на побудова перетинів дає надійне загальне спосіб розв'язання з завдань і дозволяє розвивати винахідливість учнів при знаходженні приватних прийомів.

Важливий момент навчання рішенню завдань на побудова перетинів при аналізованої методиці становить виділення в умови завдань елементів, котрі задають січну площину. Якщо умовою завдання секанс площину задана точкою і прямий, чи пересічними прямими, чи паралельними прямими, то, обираючи ними трикрапку, зводимо вирішення завдання побудувати перерізу площиною, заданої трьома точками.

При побудові перерізу правильної шестикутній призми площиною, що проходить через бік верхнього основи, а котра утворює з повним правом данийдвугранний кут, передусім визначається пара від перетинання прямих, котрі задають цю площину.

>Секущая площину визначається парою від перетинання прямих АВ і ММ (рис. 12) і за побудові перерізу правильної шестикутній піраміди площиною, що проходить через цю точку М1 підстави піраміди, паралельно одній з великих діагоналей основи, а


паралельно висоті піраміди.

>Рис. 12

Виділення січною площині — одне із важливих етапів вирішення завдань на побудова перетинів.

За позитивного рішення завдань на побудова перетинів в дохідливій формі вдається познайомити учнів з поняттями повного та метрично певного зображень, з рішенням позиційних і метричних завдань.

Зображення багатогранників вводиться як метрично певне відповідно до вищевикладеної методикою навчання побудові зображень. До поняттю повного зображення можна підвести учнів, якщо домогтися від нього розуміння, що зображення, побудоване по наперед заданому оригіналу, є у той час зображення ширшого класу постатей. Учні повинні розуміти, що зображення, наприклад, правильного тетраедра є водночас і зображенням всіх трикутних пірамід. Зображення правильної чотирикутною призми, висота якої у майже удвічі більше боку підстави, в той час і зображенням чотирикутних призм, під аркушами яких, лежить як квадрат і висота яких немає лише вдвічі рази більше боку підстави, зображенням як прямих призм, а й похилих.

>Навик у будівництві перетинів доцільніше виробляти на повних зображеннях, не пов'язуючи себе без необхідності говорити з оригіналами наперед заданої форми. Це особливо корисно, що у повних зображеннях розкриваються і пояснюються деякі загальні властивості багатогранників.

Корисно, наприклад, як побудувати перетин правильної трикутною призми (рис 13) січною площиноюА102С1, де 02— середина осі призми, а й довести, що площину перетне верхнє і нижнє підстави кожній із правильних трикутних призм..

>Рис. 13

Для побудови перерізу досить знайти точку (X) перетину ребраВВ1, з прямоюО102, через яку перетинаються допоміжна площинуBВ1DO1 з січною площиною. ВідтинокXB1=30102, оскількиD1B1 =>3D1O1, і, отже,D1O2 перетне верхнє підставу.

Широкі змогу проведення такої роботи представляє побудова зображень до завдань збуквенними даними.

Наведемо за приклад вирішення завдання на побудова перерізу призми площиною.

Завдання. Побудувати перетинпятиугольной призми площиною, заданої трьома точками, лежать на бічних ребрах призми.


Нехай дана призмаABCDEA'B'C'D'E' і трьох точки М, N, Р, що лежать відповідно на ребрах АА', ЇЇ',DD', (рис).

>Виберем площинуА'В'С нижнього підстави за основну площину а, а напрям бічних ребер — за напрям проектування на основну площину. За такої виборі основний площини і напрями проектування зображення призми є повним, т. е. все елементи призми (межі, ребра і вершини) задано на кресленні, що легко перевірити. Оскільки зображення є повним, то необхідну в завданню побудова можна здійснити на кресленні.

Завдання побудови перерізу зводиться у разі до відшуканню точок перетину площиніMNP з бічними ребрами (>проектирующими прямими) ВР' і СС.

Наведемо символічну запис ходу виконання завдання

(L З MN,) і (До ЗNP,) (>MNP =KL);

R ЗC'D',KL;

(R З З D') і (CD' З З CD) => (R З З CD);

(R ЗKL) і (>KLMNP)=>(R ЗMNP);

(>P ЗMNP, З CD) і (R ЗMNP,C'CD)=>(MNPC'CD=

= PR);

(X ЗC'C, PR) (X =MNP З З);

P.S ЗB'C,KL;

(P.S ЗB'C) і (>B'CB'BC) => (P.S ЗB'BC);

(P.S ЗKL) і (>KL ЗMNP)=>(S ЗMNP);

10) (>XMNP,B'BC)и(SСMNP,B'BC)=>(XS=MNPB'BC);

11) (Y ЗXS,B'B)=>(Y ЗMNP,B'B).

Отже,MNPXY — дані перетин.

Завдання 2. Знайти лінію перетинучетирехугольной пірамідиSA1B1C1D1 з площиноюQ, що проходить через точкиL(L1), М (М1) іN(N1) (>рис.15).

>Рис 15.

Оскільки точки L, М і N задано на кресленні своїми зображеннями і зображеннями своїх внутрішніх центральних проекцій, то тому випадку доцільно скористатися центральним проектуванням на площину П з точки P.S, що з центру, та імідж визначатимуть точки перетину ребер піраміди з площиноюQ.Ребра піраміди тут можна як які проектують прямі.

З'єднаємо точкиL1 зN1, L з N і А1 з М1, потім через

>точкуРх=L1N1A1M1 проведемопроектирующую прямуSP1 і знайдемо точкуР=LNSP1.Далее,прямуюMP продовжимо до перетину у точці А руба SA. Крапка А точка перетину ребра SA1 з площиноюQ.


Чорт. 51.

Щоб знайти точку D перетину ребраSD1 з площиноюQ, через точкуR1 =>A1M1L1D1 проведемопроектирующую прямуSR1, що перетинає прямуAM у точці R, і прямуLR продовжимо до перетину з рубаSD1.

Аналогічно можна знайти точки У і З. Але ми тут визначення точки З використовували точкуТ=АМ ST1 й у побудови точки У знайшли лініюSK1 перетину гранейSA1D1 іSB1C1, а точку До=SK1 AD з'єднали до точки З. Зазначимо, що це прийоми можна використовувати під час перевірки побудов. ЛініяABCD є бажана лінія перетину даної піраміди з площиною.


Використовувана література

1. Г.Р.Зенгин «Основні засади побудови зображень встериометрии». Державнеучебно- педагогічне видавництво Міністерства Просвітництва РРФСР. М. 1956.

2. А.Д.Семушкин «Методика навчання рішенню завдань на побудова постереометрии».Издательство академії педагогічних наук РРФСР. М. 1959

3. А.А. Столяр «Педагогіка математики». Видавництво «Вищу школу» 1986.


Предыдущая страница | Страница 2 из 2

Схожі реферати:

Навігація