Реферати українською » Промышленность, производство » Визначення переміщення методом Мора. Правило Верещагіна


Реферат Визначення переміщення методом Мора. Правило Верещагіна

>УО «>БГУИР»

кафедра інженерної графіки

>РЕФЕРАТ

на задану тему:

«>ОПРЕДЕЛЕНИЕПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОММОРА. ПРАВИЛОВЕРЕЩАГИНА»

 

МІНСЬК, 2008


Розглянемо тепер загальний метод визначення переміщень, придатний будь-який, лінійнодеформируемой системи за будь-якої навантаженні. Цей метод запропонований видатним німецьким ученим Про. Мором.

Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення точки А балки, представленої на рис. 7.13, а.Заданное (вантажне) стан позначимо буквою до.Виберем допоміжне стан тієї ж балки з одиничної

силою, діючу пенсійну систему точці A й у напрямі шуканого переміщення.Вспомогательное стан позначимо буквою і (рис. 7.13,6).

>Вичислим роботу зовнішніх й захищає внутрішніх сил допоміжного стану на переміщеннях, викликаних дією сил вантажного стану.

Робота зовнішніх сил дорівнюватиме твору одиничної сили на дані переміщенняya

а робота внутрішніх сил по абсолютну величину дорівнюєинтегралу

Маємо

чи

                                          (1)

Формула (7.33) це і є формула Мора (інтеграл Мора), що дає змогу визначити переміщення у будь-якій точцілинейно-деформируемой системи.

У цій формуліподинтегральное твірMiMk позитивно, якщо обидваизгибающих моменту мають однакову знак, і негативно, якщоMi іМк мають різні знаки.

Якщо ми визначали кутовий переміщення у точці Бо ж у стані і було б докласти у точці А момент, рівний одиниці (без розмірності).

>Обозначая буквою будь-яке переміщення (лінійне чи кутовий), формулу (інтеграл) Мора напишемо як

                                               (2)

У випадку аналітичне виразMi іМк не завжди однаковий різними ділянках балки чи взагалі пружною системи. Тож замість формули (2) слід користуватися більш загальній формулою

                       (3)

Якщо стрижні системи працюють не так на вигин, але в розтягнення (стиснення), як, наприклад, в фермах, то формула Мора має вигляд

                       (4)

У цій формулі твірNiNK позитивно, якщо обидва зусилля розтягують чи обидва стискаючі. Якщо стрижні одночасно працюють, і на вигин і розтягнення (стиснення), то звичайних випадках, як свідчать порівняльні розрахунки, переміщення можна визначати, враховуючи лишеизгибающие моменти, оскільки вплив поздовжніх сил дуже мало.

Із тих-таки міркувань, як раніше, у звичайних випадках годі й враховувати впливу поперечних сил.

Замість безпосереднього обчислення інтеграла Мора можна скористатисяграфо-аналитическим прийомом «способомперемноженияепюр», чи правилом Верещагіна.

Розглянемо двіепюриизгибающих моментів, у тому числі однаМк має довільне обрис, іншуМi прямолінійна (>Рис 7.14, чи б).

>Сечение стрижня дільниціAВ вважатимемо постійним. І тут

                               (5)

ВеличинаMKdz є елементарну площаdkепюриМк (заштрихована малюнку). Отже,

                               (6)

Але

                                  (7)

отже,

                                       (8)

Але є статичний момент площіепюриМк щодо деякою осі у, що проходить через точку Про, рівнийkzc, деk — площаепюри моментів;zс — відстань від осі у до центру вагиепюриМк. З креслення видно, що

                                          (9)

деМсi — ординатаепюриMi, розташована під центром тяжкостіепюриМк (під точкою З). Отже,

                     (10)

т. е. шуканий інтеграл дорівнює твору площіепюриМк (будь-який по обрису) на розташовану під її центром тяжкостіординату прямолінійноюепюриМсi. Значення величиникМсi вважається позитивним, якщо обидвіепюри розташовуються з одного боку стрижня, і негативним, якщо вони розташовуються з різних боків. Позитивний результатперемноженияепюр означає, що напрям переміщення збігаються з напрямом одиничної сили (чи моменту).

Необхідно пам'ятати, що ординатаМсi береться обов'язково жити у прямолінійноюепюре. У цьому приватному разі, коли обидвіепюри прямолінійні, можна помножити площа кожної на відповіднуординату інший.

Для стрижнів змінного перерізу правило Верещагінаперемноженияепюр незастосовно, позаяк у цьому випадку вже не можна виносити величинуEJ з-під знака інтеграла. І тут слід висловитиEJ як функціюабсцисси перерізу й вже потім вираховуватимуть інтеграл Мора (1).

При східчастому зміні жорсткості стрижня інтегрування (чи перемножуванняепюр) виробляють кожному за ділянки окремо (зі своїми значеннямEJ) і далі підсумовують результати.

У табл. 1 наведено значення площ деяких найпростішихепюр і координат їх центру ваги.

Таблиця 1

Виглядепюри Площаепюри До центру ваги

Для прискорення обчислень можна використовувати готові таблиціперемноженияепюр (табл. 2).

У таблиці, у клітинах на перетині відповідних елементарнихепюр, наведено результатиперемножения цихепюр.

При розбивці складноїепюри на елементарні, представлені у табл. 1 і 7.2, слід пам'ятати, що параболічніепюри отримані від дії лише однієї розподіленої навантаження.

Там, як у складноїепюре криволінійні ділянки виходять від одночасного дії зосереджених моментів, зусиль і рівномірно розподіленої навантаження, щоб уникнути помилки слід складнуепюру попередньо «розшарувати», т. е. розбити в ряд самостійнихепюр: від дії зосереджених моментів, зусиль і від дії рівномірно розподіленої навантаження.

Можна ще застосувати інший прийом, який вимагає розшаруванняепюр, а вимагає лише виділення криволінійної частиниепюри по хорді, що з'єднує крайні її точки.

Покажемо обидва способу на конкретному прикладі.

Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення лівого кінця балки (рис. 7.15).

Сумарнаепюра від навантаження представлена на рис. 7.15, а.


Таблиця 7.2

                                                         Mi

>Mk

 

 

 

 

 



>Эпюра від дії одиничної сили у точці А представлена на рис. 7.15, р.

Для визначення вертикального переміщення у точці А необхідно перемножитиепюру від навантаження наепюру від одиничної сили. Проте помічаємо, що у ділянці ЗС сумарноюепюрикриволинейнаяепюра отримана тільки від дії рівномірно розподіленої навантаження, але й від дії зосередженого сили Р. У результаті ділянці ЗС вже буде зовсім не елементарна параболічнаепюра, приведений у таблицях 7.1 і 7.2, а, по суті складнаепюра, на яку дані цих таблиць недійсні.

Тому необхідно зробити розшарування складноїепюри по рис. 7.15, але в елементарніепюри, надані рис. 7.15, б і 7.15, в.

>Эпюра по рис. 7.15, б отримана тільки від зосередженого сили,епюра по рис. 7.15, в — тільки від дії рівномірно розподіленої навантаження.

Нині можна перемножитиепюри, використовуючи табл. 1 чи 2.

І тому необхідно перемножити трикутнуепюру по рис. 7.15, б на трикутнуепюру по рис. 7.15, р і додати до цього результатперемножения параболічноїепюри на рис. 7.15, в натрапециевиднуюепюру ділянки ЗС по рис. 7.15, р, бо в ділянці АВ ординатиепюри по рис. 7.15, в рівні нулю.

Покажемо тепер другий спосібперемноженияепюр. Розглянемо зновуепюру по рис. 7.15, а. Приймемо початок відліку всечении У. Покажемо, що протягом кривоюLMNизгибающие моменти можна отримати як алгебраїчна сумаизгибающих моментів, відповідних прямийLN, іизгибающих моментів параболічноїепюриLNML, той самий, як й у простий балки довжиною а, завантаженою рівномірно розподіленої навантаженнямq :

Найбільша ордината посередині дорівнюватиме .

Аби довести напишемо фактичне виразизгибающего моменту падіння усечении з відривомz від точки У

                                    (А)

>Напишем тепер виразизгибающего моменту падіння у тому самомусечении, отримане як алгебраїчна сума ординат прямийLN і параболиLNML.

>Уравнение прямийLN

 

деk — тангенс кута нахилу цієї прямий

Отже, рівнянняизгибающих моментів, отримане як алгебраїчна сума рівняння прямийLN і параболиLNMN має вигляд

що збігаються з вираженням (А).

Приперемноженииепюр за правилом Верещагіна слід перемножити трапеціюBLNC на трапецію з одиничноїепюри дільниці ЗС (див. рис. 7.15, р) і відняти результатперемножения параболічноїепюриLNML (площею ) ту трапецію з одиничноїепюри. Такий спосіб розшаруванняепюр особливо вигідний, коли вигнутий ділянкуепюри перебуває в одному з середніх ділянок балки.

Приклад 7.7. Визначити вертикальне і кутовий переміщення консольної балки на місці докладання навантаження (рис. 7.16).

Рішення. Будуємоепюруизгибающих моментів для вантажного стану (рис. 7.16, а).

Для визначення вертикального переміщення вибираємо допоміжне стан балки з одиничної силою у точці докладання навантаження.

Будуємоепюруизгибающих моментів від цього сили (рис. 7.16, б). Визначаємо вертикальне переміщення способу Мора

Значенняизгибающего моменту від навантаження

Значенняизгибающего моменту від одиничної сили

>Подставляем цих значеньМР іMi під знак інтеграла і інтегруємо

Той самий результат був раніше отримано інакше.

Позитивне значення прогину показує, що вищу точку докладання навантаження Р переміщається вниз (у бік одиничної сили). Якщо ми одиничну силу направили знизу вгору, то мали бMi =1z і цього інтегрування змогли б отримати прогин зі знаком мінус. Знак мінус показував б, що переміщення відбувається вгору, а вниз, як це й є у дійсності.

>Вичислим тепер інтеграл Мора шляхомперемноженияепюр за правилом Верещагіна.

Позаяк обидвіепюри прямолінійні, то байдуже, з якоїепюри брати площу і з якої —ординату.

Площа вантажнийепюри дорівнює

Центр тяжкості цієїепюри розташований з відривом1/3l від закладення. Визначаємоординатуепюри моментів від одиничної сили, розташовану під

центром тяжкості вантажнийепюри. Легко переконатися, що вона дорівнює1/3l.

Отже.

Той-таки результат виходить і з таблиці з дитинства інтегралів. Результатперемноженияепюр позитивний, оскільки обидвіепюри розташовуються знизу стрижня. Отже, точка докладання навантаження зміщується вниз, т. е. по прийнятому напрямку одиничної сили.

Для визначення кутового переміщення (кута повороту) вибираємо допоміжне стан балки, у якому кінці балки діє зосереджений момент, рівний одиниці.

Будуємоепюруизгибающих моментів на цей випадок (рис. 7.16, в). Визначаємо кутовий переміщення,перемножаяепюри. Площа вантажнийепюри

>Ординатиепюри від одиничного моменту скрізь рівні одиниці., Отже, шуканий кут повороту перерізу дорівнює

Позаяк обидвіепюри розташовані знизу, то результатперемноженияепюр позитивний. Отже,концевое перетин балки повертається по годинниковий стрілці (в напрямі одиничного моменту).

Приклад: Визначити за способом Мора — Верещагіна прогин у точці D для балки, зображеною на рис. 7.17..

Рішення. Будуєморасслоеннуюепюру моментів від навантаження, т. е. будуємо окреміепюри від дії кожної навантаження. У цьому для зручностіперемноженияепюр доцільно будуватирасслоенние (елементарні)епюри щодо перерізу, прогин визначається у разі щодо перерізу D.

На рис. 7.17, а представленаепюраизгибающих моментів від реакції А (ділянкуAD) і зажадав від навантаження Р = 4 Т (ділянку DC).Эпюри будуються на стиснутому волокні.

На рис. 7.17, б представленіепюри моментів від реакції У (ділянкуBD), від лівої рівномірно розподіленої навантаження (ділянкуAD) і зажадав від рівномірно розподіленої навантаження, діючої дільниці ЗС. Цяепюра зображено на рис. 7.17, б дільниці DC знизу.

Далі вибираємо допоміжне стан балки, навіщо у точці D, де визначається прогин, докладаємо одиничну силу (рис. 7.17, в).Эпюра моментів від одиничної сили зображено на рис. 7.17, р. Тепер перемножимоепюри із першого по 7 наепюри 8 і 9-те, користуючись таблицямиперемноженияепюр, з урахуванням знаків.

У цьомуепюри, розташовані з одного боку балки, перемножуються зі знаком плюс, аепюри, розташовані на різні боки балки, перемножуються зі знаком мінус.

Приперемноженииепюри 1 іепюри 8 одержимо

>Перемножаяепюру 5 наепюру 8, одержимо

 >Перемножениеепюр 2 і 9-те дає

>Перемножаемепюри 4 і 9-те

>Перемножаемепюри 6 і 9-те

Підсумовуючи результатиперемноженияепюр, одержимо

Знак мінус показує, що вищу точку D переміщається не вниз, як спрямована одинична сила, а вгору.

Той самий результат було отримано раніше поуниверсальному рівнянню .

Звісно, у цьому прикладі можна було розшаруватиепюру лише з ділянціAD, бо в ділянці DB сумарнаепюра прямолінійна і його нема чогорасслаивать. На ділянці ЗС розшарування непотрібен, тому що від одиничної сили у цьому ділянціепюра дорівнює нулю. Розшаруванняепюри дільниці ЗС необхідне визначення прогину у точці З.

Приклад. Визначити вертикальне, горизонтальне і кутовий переміщення перерізу А ламаного стрижня, що був на рис. 7.18, а. Жорсткість перерізу вертикального ділянки стрижня —EJ1 жорсткість перерізу горизонтального ділянки —EJ2.

Рішення. Будуємоепюруизгибающих моментів від навантаження. Вона представлена на рис. 7.18, б (див. приклад 6.9). Для визначення вертикального переміщення перерізу А вибираємо допоміжне стан системи, представлене на рис. 7.18, в. У точці А прикладена одинична вертикальна сила, спрямована вниз.

>Эпюраизгибающих моментів при цьому стану представлена на рис. 7.18, в.

Визначаємо вертикальне переміщення методу Мора, використовуючи спосібперемноженияепюр. Оскільки вертикальному стрижні у допоміжному станіепюра М1 відсутня, то перемножуємо лишеепюри, які стосуються горизонтальному стрижню. Площаепюри беремо з вантажного стану, аординату — з допоміжного. Вертикальне переміщення одно

Позаяк обидвіепюри розташовані знизу, то результатперемножения беремо зі знаком плюс. Отже, точка А переміщається вниз, т. е. оскільки спрямована одинична вертикальна сила.

Для визначення горизонтального переміщення точки А вибираємо допоміжне стан із горизонтальній одиничної силою, спрямованої вліво (рис. 7.18, р).Эпюра моментів на цей випадок представлена там-таки.

>ПеремножаемепюриМP і М2 й одержуємо

Результатперемноженияепюр позитивний, оскількиперемножаемиеепюри розташовуються в одній й тієї боці стрижнів.

Для визначення кутового переміщення вибираємо допоміжне стан системи з рис. 7.18,5 й будуємоепюруизгибающих моментів при цьому стану (тому ж малюнку).ПеремножаемепюриМР іМ3:

Результатперемножения позитивний, оскількиперемножаемиеепюри розташовуються з одного боку.

Отже, перетин A повертається по годинниковий стрілці

Ті ж, результати вийшли ще й під час використання таблиць
>перемноженияепюр.

Вигляд деформованого стрижня показаний на рис. 7.18, е, у своїй переміщення сильно збільшено.


ЛІТЕРАТУРА

 

>Феодосьев В.І. Опір матеріалів. 1986

Бєляєв М.М. Опір матеріалів. 1976

>КрасковскийЕ.Я., Дружинін Ю.О., Філатова О.М. Розрахунок і конструювання механізмів приладів та обчислювальних систем. 1991

>РаботновЮ.Н. Механікадеформируемого твердого тіла. 1988

Степін П.О. Опір матеріалів. 1990


Схожі реферати:

Навігація